calcule as derivadas parciais da função s=f(x, y, z, w) dada por s=e^xyzw

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ s = f(x, y, z, w) $ onde $ s = e^{xyzw} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como $ s = e^{xyzw} $, a derivada parcial em relação a uma variável trata essa variável como a que estamos derivando e mantém as outras constantes. Vamos começar calculando a derivada parcial de $ s $ em relação a $ x $.

Passo 3

Para encontrar $ \frac{\partial s}{\partial x} $, tratamos $ y $, $ z $ e $ w $ como constantes. A função $ s $ pode ser vista como $ e^{k x} $, onde $ k = y z w $. Sabemos que a derivada de $ e^{k x} $ em relação a $ x $ é $ k e^{k x} $. Aplicando isso:
partial spartial x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ s $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial s}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $, $ z $ e $ w $ como constantes. A função $ s $ pode ser vista como $ e^{k y} $, onde $ k = x z w $. A derivada de $ e^{k y} $ em relação a $ y $ é $ k e^{k y} $. Assim:
s

Passo 5

Seguimos para a derivada parcial em relação a $ z $, $ \frac{\partial s}{\partial z} $. Aqui, $ x $, $ y $ e $ w $ são constantes. A função $ s $ pode ser reescrita como $ e^{k z} $, onde $ k = x y w $. Derivando:
z

Passo 6

Por último, calculamos a derivada parcial em relação a $ w $, $ \frac{\partial s}{\partial w} $. Neste caso, $ x $, $ y $ e $ z $ são constantes. A função $ s $ é $ e^{k w} $, onde $ k = x y z $. A derivada é então:
w

Resposta

As derivadas parciais da função $ s = e^{xyzw} $ são:
s = e^xyzw
partial spartial x = y z w cdot e^xyzw
partial spartial y = x z w cdot e^xyzw
partial spartial z = x y w cdot e^xyzw

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