Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
\boldsymbol{x}^{2} \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{y}^{2}

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial
x^{2}y' + x\,y = x^{2} + y^{2},
que é uma equação do tipo Riccati. Para resolver vamos usar a substituição
u = \frac{y}{x},
pois aparece o termo y^{2} e x^{2}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação dividindo tudo por x^{2} (supondo x\neq0):
y' + \frac{1}{x}\,y = 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}.
Agora substituímos y = x\,u. Calculamos y' por produto:
y' = u + x\,u'.

Passo 3

Substituindo y e y' na equação em forma dividida:
u + x\,u' + \frac{1}{x}\,(x\,u) = 1 + u^{2} \quad\Longrightarrow\quad u + x\,u' + u = 1 + u^{2}
\Longrightarrow x\,u' + 2u = 1 + u^{2} \quad\Longrightarrow\quad x\,u' = (u-1)^{2}.

Passo 4

Agora a equação em u é separável:
\frac{du}{(u-1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{(u-1)^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{u-1} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Desse resultado temos
\frac{1}{u-1} = -\ln\lvert x\rvert + C_{1},
logo
u - 1 = \frac{1}{C_{1} - \ln\lvert x\rvert} \quad\Longrightarrow\quad u = 1 + \frac{1}{C_{1} - \ln\lvert x\rvert}.
Voltando a y = x\,u, obtemos a solução geral
y(x) = x\;\Bigl(1 + \frac{1}{C_{1} - \ln\lvert x\rvert}\Bigr) = x \;-\;\frac{x}{\,C_{1} - \ln\lvert x\rvert\,}.
Além disso, há a solução singular u\equiv1, que dá y=x.

Resposta

A família geral de soluções é
\boxed{y(x)=x-\frac{x}{C-\ln\lvert x\rvert},}
onde C é constante arbitrária, mais a solução singular
\boxed{y(x)=x.}

Exercícios relacionados