Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
Passo 1
O enunciado é a equação diferencial
que é uma equação do tipo Riccati. Para resolver vamos usar a substituição
pois aparece o termo
e
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação dividindo tudo por
(supondo
):
Agora substituímos
. Calculamos
por produto:
Passo 3
Substituindo
e
na equação em forma dividida:
Passo 4
Agora a equação em
é separável:
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Desse resultado temos
logo
Voltando a
, obtemos a solução geral
Além disso, há a solução singular
, que dá
.
Resposta
A família geral de soluções é
onde
é constante arbitrária, mais a solução singular