Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
© t^2 y'' + 3 t y' + y = 0, t > 0, y1(t) = t^(-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Redução de Ordem. A equação que temos é:
Sabemos que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente de . Para isso, vamos usar o método de Redução de Ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui, é uma função que precisamos determinar. Nossa tarefa agora é encontrar .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para :
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então . Substituindo na equação:

Passo 6

A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. Dividindo ambos os lados por :
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Isso confirma que a equação já está na forma apropriada. Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , temos:
Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração. Para simplificar, podemos considerar , já que uma constante adicionada à função não afeta a linearidade das soluções.

Passo 8

Agora, temos:
Lembre-se que a segunda solução é:
Como estamos procurando uma solução não trivial, podemos considerar .

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é:

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