Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Redução de Ordem. A equação que temos é:
Sabemos que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente de
. Para isso, vamos usar o método de Redução de Ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a segunda solução
pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que precisamos determinar. Nossa tarefa agora é encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
. Substituindo na equação:
Passo 6
A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. Dividindo ambos os lados por
:
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Isso confirma que a equação já está na forma apropriada. Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Para simplificar, podemos considerar
, já que uma constante adicionada à função
não afeta a linearidade das soluções.
Passo 8
Agora, temos:
Lembre-se que a segunda solução
é:
Como estamos procurando uma solução não trivial, podemos considerar
.
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é: