Verifique se a equação diferencial dada é exata, se for, resolva.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a equação diferencial
é exata e, se for exata, que a resolvamos.
Informações dadas (explicitadas):
é o coeficiente de
.
é o coeficiente de
.
A tarefa imediata é checar a condição de exatidão e, caso positivo, encontrar a solução geral.
Informações dadas (explicitadas):
A tarefa imediata é checar a condição de exatidão e, caso positivo, encontrar a solução geral.
Passo 2
O que significa a equação ser exata e como verificamos (aula rápida):
Uma equação da forma
Uma equação da forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática necessária e suficiente (quando
têm derivadas parciais contínuas) é
Se essa igualdade ocorrer, podemos obter
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e ajustando uma função “constante” de
; alternativamente integrar
em
e ajustar função de
. Vou aplicar essa verificação agora.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais relevantes:
Comparando:
em geral, então a equação não é exata na forma dada.
Passo 4
Nem tudo está perdido — quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante
(uma função que multiplica toda a equação) tal que
seja exata. Dois casos comuns e simples são
(só função de
) ou
(só função de
). Vamos testar ambos de forma didática.
Se
, a condição de exatidão para
e
leva a
Calculamos o lado direito:
que depende de
. Portanto não é função só de
, então não existe
simples.
Testemos
. A condição equivalente é
Calculamos o lado direito:
Observe que
, então
Isso é função somente de
! Ótimo — então existe um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 5
Encontrando
: resolvemos
Integramos em
:
Logo
. Podemos escolher a constante
(qualquer constante multiplicativa altera apenas a constante final da solução), portanto tomamos
Passo 6
Multiplicamos a equação original por
. Os novos coeficientes são:
Verifiquemos exatidão:
Como
, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 7
Agora encontramos a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Devemos ter
, portanto
Logo
é constante:
.
Portanto a função potencial é (podemos omitir a constante ou agrupá-la com o lado direito)
A solução implícita geral da equação diferencial é
ou seja
Resposta
ou, resolvendo para
,