Verifique se a equação diferencial dada é exata, se for, resolva.
\left(y^{2}+2 x y\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a equação diferencial
\left(y^{2}+2 x y\right) d x - x^{2} d y = 0
é exata e, se for exata, que a resolvamos.
Informações dadas (explicitadas):
\,M(x,y)=y^{2}+2xy é o coeficiente de d x.
\,N(x,y)=-x^{2} é o coeficiente de d y.
A tarefa imediata é checar a condição de exatidão e, caso positivo, encontrar a solução geral.

Passo 2

O que significa a equação ser exata e como verificamos (aula rápida):
Uma equação da forma
M(x,y)\,d x + N(x,y)\,d y = 0
é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática necessária e suficiente (quando M,N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade ocorrer, podemos obter \psi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e ajustando uma função “constante” de y; alternativamente integrar N em y e ajustar função de x. Vou aplicar essa verificação agora.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais relevantes:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}+2xy\big)=2y+2x.
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-x^{2}\big)=-2x.
Comparando:
2y+2x \neq -2x
em geral, então a equação não é exata na forma dada.

Passo 4

Nem tudo está perdido — quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante \mu (uma função que multiplica toda a equação) tal que \mu M\,d x + \mu N\,d y seja exata. Dois casos comuns e simples são \mu=\mu(x) (só função de x) ou \mu=\mu(y) (só função de y). Vamos testar ambos de forma didática.
Se \mu=\mu(x), a condição de exatidão para \mu M e \mu N leva a
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}.
Calculamos o lado direito:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=(2y+2x)-(-2x)=2y+4x.
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{2y+4x}{-x^{2}}=-\frac{2y}{x^{2}}-\frac{4}{x},
que depende de y. Portanto não é função só de x, então não existe \mu(x) simples.
Testemos \mu=\mu(y). A condição equivalente é
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}.
Calculamos o lado direito:
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=-2x-(2y+2x)=-4x-2y.
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{-4x-2y}{y^{2}+2xy}.
Observe que y^{2}+2xy=y(y+2x), então
\frac{-4x-2y}{y(y+2x)}=\frac{-2(2x+y)}{y(2x+y)}=-\frac{2}{y}.
Isso é função somente de y! Ótimo — então existe um fator integrante que depende apenas de y.

Passo 5

Encontrando \mu(y): resolvemos
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=-\frac{2}{y}.
Integramos em y:
\ln \mu = \int -\frac{2}{y}\,dy = -2\ln y + C.
Logo \mu = C y^{-2}. Podemos escolher a constante C=1 (qualquer constante multiplicativa altera apenas a constante final da solução), portanto tomamos
\mu(y)=y^{-2}.

Passo 6

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{-2}. Os novos coeficientes são:
\tilde{M}(x,y)=\frac{y^{2}+2xy}{y^{2}}=1+\frac{2x}{y},
\tilde{N}(x,y)=\frac{-x^{2}}{y^{2}}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}.
Verifiquemos exatidão:
\frac{\partial \tilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(1+\frac{2x}{y}\Big)=-\frac{2x}{y^{2}},
\frac{\partial \tilde{N}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(-\frac{x^{2}}{y^{2}}\Big)=-\frac{2x}{y^{2}}.
Como \partial \tilde{M}/\partial y=\partial \tilde{N}/\partial x, a equação multiplicada por y^{-2} é exata.

Passo 7

Agora encontramos a função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\tilde{M}=1+\frac{2x}{y},
\frac{\partial \psi}{\partial y}=\tilde{N}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}.
Integramos \tilde{M} em relação a x (tratando y como constante):
\psi(x,y)=\int\Big(1+\frac{2x}{y}\Big)\,dx = x+\frac{x^{2}}{y}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora derivamos \psi em relação a y e igualamos a \tilde{N}:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(x+\frac{x^{2}}{y}+h(y)\Big)=-\frac{x^{2}}{y^{2}}+h'(y).
Devemos ter \partial \psi/\partial y=\tilde{N}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}, portanto
-\frac{x^{2}}{y^{2}}+h'(y)=-\frac{x^{2}}{y^{2}} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante: h(y)=C.
Portanto a função potencial é (podemos omitir a constante ou agrupá-la com o lado direito)
\psi(x,y)=x+\frac{x^{2}}{y}.
A solução implícita geral da equação diferencial é
\psi(x,y)=C,
ou seja
x+\frac{x^{2}}{y}=C.

Resposta

x+\frac{x^{2}}{y}=C
ou, resolvendo para y,
y=\frac{x^{2}}{C-x}.

Exercícios relacionados