Verifique se a equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa descobrir se é ordinária ou parcial. Além disso, precisamos verificar se a função dada $ y = 3t + t^{2} $ realmente satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias e parciais, e aprender passo a passo como verificar soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a diferença entre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e equações diferenciais parciais (EDPs).
- EDO: Envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente. Por exemplo, $ \frac{dy}{dt} $.
- EDP: Envolve derivadas parciais de uma função em relação a múltiplas variáveis independentes. Por exemplo, $ \frac{\partial y}{\partial t} $ e $ \frac{\partial y}{\partial x} $.
Nossa equação é $ t y^{\prime} - y = t^{2} $. Observamos que temos apenas uma variável independente, $ t $, e derivadas em relação a $ t $. Portanto, essa é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função $ y = 3t + t^{2} $ é solução da equação diferencial dada. Para isso, precisamos substituir $ y $ e sua derivada $ y’ $ na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Passo 4
Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Isso reduz para:
Então, temos:
A igualdade é verdadeira para todo $ t $.
Resposta
A equação diferencial $ t y^{\prime} - y = t^{2} $ é uma equação diferencial ordinária (EDO), e a função $ y = 3t + t^{2} $ é uma solução dessa equação.