Uma haste de comprimento L é mantida à temperatura constante u0 em suas extremidades x=0 e x=L. Se a temperatura inicial da barra é u0+u0 sen(x pi / L), resolva a equação do calor para a temperatura u(x, t) usando a técnica da transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, então temos uma haste com comprimento L que está mantendo uma temperatura constante u0 nas suas extremidades, ou seja, em x=0 e x=L. A temperatura inicial da haste é dada por u0 + u0 sin(pi xL). Vamos usar a equação do calor e aplicar a técnica da transformada de Laplace para encontrar a temperatura u(x, t) em qualquer ponto da haste ao longo do tempo. Para isso, precisaremos entender a equação do calor, as condições de contorno e como a transformada de Laplace pode ajudar a resolver equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor. Em uma dimensão, ela é dada por:
partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2
Aqui, alpha é a difusividade térmica da haste. No nosso caso, como não foi especificado, podemos assumir alpha = 1 para simplificar.

Passo 3

As condições de contorno são que a temperatura nas extremidades é constante em u0. Isso significa:
u(0, t) = u0 u(L, t) = u0
E a condição inicial, ou seja, a temperatura da haste no tempo t=0, é:
u(x, 0) = u0 + u0 sin(pi xL)

Passo 4

Agora, para resolver a equação do calor usando a transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada de Laplace em relação ao tempo t em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Aplicando a transformada na equação do calor:
Lpartial upartial t = Lpartial^2 upartial x^2

Passo 5

Sabemos que:
Lpartial upartial t = s U(x, s) - u(x, 0)
E como Lpartial^2 upartial x^2 = partial^2 Upartial x^2
Então, substituindo na equação:
s U(x, s) - u(x, 0) = partial^2 Upartial x^2

Passo 6

Substituindo a condição inicial u(x, 0) = u0 + u0 sin(pi xL) na equação:
s U(x, s) - (u0 + u0 sin(pi xL)) = partial^2 Upartial x^2

Passo 7

Rearranjando a equação:
partial^2 Upartial x^2 - s U(x, s) = -u0 - u0 sin(pi xL)

Passo 8

Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições de contorno homogêneas (já que a temperatura nas extremidades é constante e igual a u0). Vamos procurar uma solução particular para a equação completa e uma solução geral para a equação homogênea associada.

Passo 9

A solução geral da equação homogênea partial^2 Upartial x^2 - s U = 0 é:
Uh(x, s) = A sinh(raizs x) + B cosh(raizs x)
Onde A e B são constantes a determinar a partir das condições de contorno.

Passo 10

A solução particular para a equação completa pode ser assumida como uma combinação das funções do lado direito. Como temos termos constantes e um seno, tentamos:
Up(x, s) = C + D sin(pi xL)

Passo 11

Substituindo Up(x, s) na equação diferencial:
partial^2partial x^2 (C + D sin(pi xL)) - s (C + D sin(pi xL)) = -u0 - u0 sin(pi xL)
Calculando as derivadas:
- D (piL)^2 sin(pi xL) - s C - s D sin(pi xL) = -u0 - u0 sin(pi xL)

Passo 12

Agora, igualamos os coeficientes dos termos constantes e dos termos com sin(pi xL):
Para os termos constantes:
- s C = -u0 Rightarrow C = u0s
Para os termos com seno:
- D (piL)^2 - s D = -u0 Rightarrow D (pi^2L^2 + s) = u0 Rightarrow D = u0pi^2L^2 + s

Passo 13

Então, a solução particular é:
Up(x, s) = u0s + u0pi^2L^2 + s sin(pi xL)

Passo 14

Agora, a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
U(x, s) = A sinh(raizs x) + B cosh(raizs x) + u0s + u0pi^2L^2 + s sin(pi xL)

Passo 15

Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes A e B. Sabemos que:
U(0, s) = u0 cdot 1s + u0pi^2L^2 + s sin(0) = u0s
E
U(L, s) = A sinh(raizs L) + B cosh(raizs L) + u0s + u0pi^2L^2 + s sin(pi) = A sinh(raizs L) + B cosh(raizs L) + u0s
Como sin(pi) = 0, temos:
U(L, s) = A sinh(raizs L) + B cosh(raizs L) + u0s = u0s
Assim,
A sinh(raizs L) + B cosh(raizs L) = 0

Passo 16

Para resolver esse sistema, observamos que a única solução trivial é A = 0 e B = 0. Portanto, a solução geral reduz-se à solução particular:
U(x, s) = u0s + u0pi^2L^2 + s sin(pi xL)

Passo 17

Agora, para encontrar u(x, t), precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace a U(x, s):
u(x, t) = L^-1u0s + L^-1u0pi^2L^2 + s sin(pi xL)
Sabemos que:
L^-11s = 1
E
L^-11s + a = e^-a t

Passo 18

Aplicando a transformada inversa:
u(x, t) = u0 cdot 1 + u0 sin(pi xL) e^-pi^2L^2 t

Resposta

A solução da equação do calor para a temperatura u(x, t) na haste é:
u(x, t) = u0 (1 + sin(pi xL) e^-pi^2L^2 t)

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