Uma haste de comprimento
é mantida à temperatura constante
em suas extremidades
e
. Se a temperatura inicial da barra é
, resolva a equação do calor para a temperatura
usando a técnica da transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, então temos uma haste com comprimento
que está mantendo uma temperatura constante
nas suas extremidades, ou seja, em
e
. A temperatura inicial da haste é dada por
. Vamos usar a equação do calor e aplicar a técnica da transformada de Laplace para encontrar a temperatura
em qualquer ponto da haste ao longo do tempo. Para isso, precisaremos entender a equação do calor, as condições de contorno e como a transformada de Laplace pode ajudar a resolver equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor. Em uma dimensão, ela é dada por:
Aqui,
é a difusividade térmica da haste. No nosso caso, como não foi especificado, podemos assumir
para simplificar.
Passo 3
As condições de contorno são que a temperatura nas extremidades é constante em
. Isso significa:
E a condição inicial, ou seja, a temperatura da haste no tempo
, é:
Passo 4
Agora, para resolver a equação do calor usando a transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada de Laplace em relação ao tempo
em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de uma função
é definida como:
Aplicando a transformada na equação do calor:
Passo 5
Sabemos que:
E como
Então, substituindo na equação:
Passo 6
Substituindo a condição inicial
na equação:
Passo 7
Rearranjando a equação:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições de contorno homogêneas (já que a temperatura nas extremidades é constante e igual a
). Vamos procurar uma solução particular para a equação completa e uma solução geral para a equação homogênea associada.
Passo 9
A solução geral da equação homogênea
é:
Onde
e
são constantes a determinar a partir das condições de contorno.
Passo 10
A solução particular para a equação completa pode ser assumida como uma combinação das funções do lado direito. Como temos termos constantes e um seno, tentamos:
Passo 11
Substituindo
na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Passo 12
Agora, igualamos os coeficientes dos termos constantes e dos termos com
:
Para os termos constantes:
Para os termos com seno:
Passo 13
Então, a solução particular é:
Passo 14
Agora, a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 15
Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes
e
. Sabemos que:
E
Como
, temos:
Assim,
Passo 16
Para resolver esse sistema, observamos que a única solução trivial é
e
. Portanto, a solução geral reduz-se à solução particular:
Passo 17
Agora, para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace a
:
Sabemos que:
E
Passo 18
Aplicando a transformada inversa:
Resposta
A solução da equação do calor para a temperatura
na haste é: