Encontre a solução do PVI e desenhe seu gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a solução de uma Equação Diferencial de Primeira Ordem com uma função delta de Dirac e desenhar o gráfico da solução. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver uma equação diferencial linear e o que a função delta de Dirac faz na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo da função delta:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o método do fator integrante. A equação pode ser reescrita como:
A solução geral dessa equação é:
onde $ C $ é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Agora, voltamos à equação original, que inclui a função delta:
A função delta de Dirac, $ \delta(t - 7) $, representa um impulso instantâneo no tempo $ t = 7 $. Isso significa que a solução $ y(t) $ terá uma mudança brusca em $ t = 7 $.
Para encontrar a solução completa, precisamos considerar o efeito desse impulso. A solução terá duas partes:
- A solução homogênea para $ t < 7 $.
- A solução após o impulso em $ t = 7 $, que será ajustada pela força do impulso.
Passo 4
Vamos primeiramente aplicar a condição inicial $ y(0) = 1 $ na solução homogênea:
Então, para $ t < 7 $, a solução é:
Passo 5
Agora, precisamos considerar o impacto da função delta em $ t = 7 $. A presença de $ \delta(t - 7) $ faz com que ocorra uma descontinuidade na derivada de $ y(t) $ naquele ponto.
Para encontrar a mudança na função $ y(t) $ devido ao impulso, integramos a equação ao redor de $ t = 7 $:
Simplificando, obtemos:
Como a integral de $ y $ em um intervalo infinitesimal é praticamente zero, a equação simplifica para:
Sabemos que $ y(7^-) = e^{7} $, então:
Passo 6
Após $ t = 7 $, a solução novamente segue a equação homogênea $ y^{\prime} - y = 0 $, mas agora com a condição inicial ajustada:
Então, para $ t > 7 $, a solução é:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é dada por:
O gráfico dessa solução mostra uma curva exponencial iniciando em $ y(0) = 1 $ e aumentando como $ e^{t} $ até $ t = 7 $. Neste ponto, ocorre uma queda brusca devido ao impulso da função delta, ajustando a solução para $ \left(1 - 10e{-7}\right)e{t} $ para $ t \geq 7 $.