Sejam as equações de Maxwell na forma diferencial:
a) Como ficam tais equações expressas para o vácuo? Justifique.
b) Explique conceitualmente, ou por demonstração algébrica, como as equações de Maxwell dão origem a ondas eletromagnéticas.
b) Explique conceitualmente, ou por demonstração algébrica, como as equações de Maxwell dão origem a ondas eletromagnéticas.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações de Maxwell em forma diferencial em meio geral e pede duas coisas:
– (a) especializar essas equações para o vácuo;
– (b) mostrar conceitual ou algébricamente como surgem ondas eletromagnéticas a partir delas.
O conteúdo envolvido é eletromagnetismo clássico em formulação vetorial e uso da identidade
– (a) especializar essas equações para o vácuo;
– (b) mostrar conceitual ou algébricamente como surgem ondas eletromagnéticas a partir delas.
O conteúdo envolvido é eletromagnetismo clássico em formulação vetorial e uso da identidade
Passo 2
Em vácuo não há cargas nem correntes livres, logo
e
. Substituindo em
obtemos para o vácuo
Passo 3
Vamos derivar a equação de onda para
. Tomamos o rotacional de Faraday:
Por outro lado, usando a identidade vetorial e
:
Igualando as duas expressões:
Passo 4
Analogamente, para
tomamos o rotacional de Ampère no vácuo:
E como
:
Logo
Passo 5
Conceitualmente, as equações mostram que um campo elétrico variável no tempo gera um campo magnético (lei de Ampère–Maxwell) e vice-versa (lei de Faraday). Esse mecanismo de autoindução mútua permite que perturbações de
e
se propaguem pelo espaço sem fonte externa, mantendo a forma de ondas que viajam à velocidade
Resposta
a) Em vácuo (
,
) as equações ficam
b) Aplicando o rotacional em cada uma das leis de indução e usando
,
e a identidade
, chegam-se às equações de onda
cuja interpretação física é que campos elétricos e magnéticos autoinduzidos formam ondas que se propagam no vácuo com velocidade
.