Sejam as equações de Maxwell na forma diferencial:
\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} ; \quad \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 ; \quad \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} ; \quad \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_{0} \boldsymbol{J}+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} .
a) Como ficam tais equações expressas para o vácuo? Justifique.
b) Explique conceitualmente, ou por demonstração algébrica, como as equações de Maxwell dão origem a ondas eletromagnéticas.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de Maxwell em forma diferencial em meio geral e pede duas coisas:
– (a) especializar essas equações para o vácuo;
– (b) mostrar conceitual ou algébricamente como surgem ondas eletromagnéticas a partir delas.
O conteúdo envolvido é eletromagnetismo clássico em formulação vetorial e uso da identidade
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{V})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{V})-\nabla^2\mathbf{V}\,.

Passo 2

Em vácuo não há cargas nem correntes livres, logo \rho=0 e \mathbf{J}=0. Substituindo em
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0},\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\quad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},
obtemos para o vácuo
\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 3

Vamos derivar a equação de onda para \mathbf{E}. Tomamos o rotacional de Faraday:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) =\nabla\times\Bigl(-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\Bigr) =-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B}) =-\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) =-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.
Por outro lado, usando a identidade vetorial e \nabla\cdot\mathbf{E}=0:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E} =-\nabla^2\mathbf{E}.
Igualando as duas expressões:
-\nabla^2\mathbf{E}=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2\mathbf{E} =\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.

Passo 4

Analogamente, para \mathbf{B} tomamos o rotacional de Ampère no vácuo:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) =\nabla\times\Bigl(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) =\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{E}) =\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\Bigr) =-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}.
E como \nabla\cdot\mathbf{B}=0:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) =-\nabla^2\mathbf{B}.
Logo
\nabla^2\mathbf{B} =\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}.

Passo 5

Conceitualmente, as equações mostram que um campo elétrico variável no tempo gera um campo magnético (lei de Ampère–Maxwell) e vice-versa (lei de Faraday). Esse mecanismo de autoindução mútua permite que perturbações de \mathbf{E} e \mathbf{B} se propaguem pelo espaço sem fonte externa, mantendo a forma de ondas que viajam à velocidade
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}.

Resposta

a) Em vácuo ( \rho=0, \mathbf{J}=0) as equações ficam
\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
b) Aplicando o rotacional em cada uma das leis de indução e usando \nabla\cdot\mathbf{E}=0, \nabla\cdot\mathbf{B}=0 e a identidade \nabla\times(\nabla\times\mathbf{V})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{V})-\nabla^2\mathbf{V}, chegam-se às equações de onda
\nabla^2\mathbf{E}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2\mathbf{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2},
cuja interpretação física é que campos elétricos e magnéticos autoinduzidos formam ondas que se propagam no vácuo com velocidade c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}.

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