Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:
a) x^3+x^2-4 x-15=0

Passo 1

Neste exercício queremos verificar se a equação x^3+x^2-4x-15=0 admite pelo menos uma raiz real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas (no caso, polinômios) e o fato de que polinômios de grau ímpar têm pelo menos uma raiz real.

Passo 2

Definimos f(x)=x^3+x^2-4x-15. Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo R, então, se encontrarmos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante uma raiz em (a,b).

Passo 3

Vamos calcular f(2) e f(3):
f(2)=2^3+2^2-4cdot2-15=8+4-8-15=-11<0
f(3)=3^3+3^2-4cdot3-15=27+9-12-15=9>0

Passo 4

Como f(2)<0 e f(3)>0, existe pelo menos um cin(2,3) tal que f(c)=0 pelo Teorema do Valor Intermediário.

Resposta

Sim. A equação admite pelo menos uma raiz real em (2,3).

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