Verifique quais das equações abaixo definem superfícies esféricas e determine o centro e o raio daquelas que o forem.
x^2+y^2+z^2-2 x-2 y+1=0.

Passo 1

O enunciado fornece a superfície dada por
x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0
Queremos verificar se ela é uma esfera, isto é, se podemos escrevê-la na forma canônica
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2,
e, em caso afirmativo, encontrar o centro (x0,y0,z0) e o raio r. Para isso, vamos completar quadrados nos termos de x e y.

Passo 2

Reagrupamos os termos que envolvem x e y separadamente, deixando z^2 isolado:
l(x^2-2xr);+;l(y^2-2yr);+;z^2;+;1 ;=;0

Passo 3

Fazemos o completamento de quadrado em x e y:
x^2-2x = (x-1)^2-1, y^2-2y = (y-1)^2-1
O termo z^2 já está na forma de quadrado perfeito.

Passo 4

Substituímos essas identidades na equação original:
l((x-1)^2-1r) + l((y-1)^2-1r) + z^2 + 1 = 0
iff (x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 -1 = 0
iff (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = 1

Passo 5

Agora, comparando com a forma
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2,
vemos que
(x0,y0,z0) = (1,1,0), r = 1

Resposta

A equação define uma esfera de centro (1,1,0) e raio 1.

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