Verifique que as equaçōes abaixo nåo såo exatas.
2 y^{2}+\frac{2 y}{x}+\left(2 x y+2+\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
2y^{2} + \frac{2y}{x} + \biggl(2xy + 2 + \frac{y}{x}\biggr)\frac{dy}{dx} = 0
e pede para verificar que ela não é exata. Para isso, vamos identificar
M(x,y) = 2y^{2} + \frac{2y}{x}, \quad N(x,y) = 2xy + 2 + \frac{y}{x},
e usar o critério de exatidão: a equação é exata se e somente se \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calcular \frac{\partial M}{\partial y}.
Como
M(x,y) = 2y^{2} + \frac{2y}{x},
temos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2y}{x}\Bigr) = 4y + \frac{2}{x}.

Passo 3

Calcular \frac{\partial N}{\partial x}.
Como
N(x,y) = 2xy + 2 + \frac{y}{x},
temos
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}(2) + \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = 2y + 0 - \frac{y}{x^{2}} = 2y - \frac{y}{x^{2}}.

Passo 4

Comparar os dois resultados:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y + \frac{2}{x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y - \frac{y}{x^{2}}.
Como 4y + \tfrac{2}{x} \neq 2y - \tfrac{y}{x^{2}} em geral, o critério de exatidão falha.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata.

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