Questão 15. Ache a solução geral das EDO’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede a solução geral
.
Informações relevantes: a equação é linear em (porque aparece
e
de forma linear) e envolve funções trigonométricas
e
. Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral com uma constante arbitrária. Note que a solução só poderá ser escrita onde
(pois
e fatores como
aparecem).
Informações relevantes: a equação é linear em
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem
Aqui basta passar o termo com
para o lado esquerdo:
Portanto
A técnica que usamos é o fator integrante (integrating factor). O fator integrante
é definido por
Explico o porquê: multiplicando a equação por
queremos que o lado esquerdo vire a derivada do produto
, ou seja
Isso acontece exatamente quando
, e daí
. É um truque padrão para transformar a equação em algo integrável diretamente.
Passo 3
Calculemos o fator integrante usando
:
Sabemos que
. Logo
e podemos escolher
no fator integrante (constante multiplicativa não importa), obtendo
Portanto o fator integrante é
. Lembrete: isso só faz sentido onde
ou
; no geral usamos
nas regiões onde
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Começamos da forma
Multiplicando por
obtemos
Como
, isso é
Agora observe que, pelo produto, a derivada de
é
Portanto o lado esquerdo anterior é exatamente a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para integrar
usamos a identidade de dobro ângulo
Assim
Calculando cada termo:
Portanto
(Como já temos uma constante
no passo anterior, podemos incorporar
nela.) Substituindo
para simplificar:
Assim obtemos
Passo 6
Isolamos
dividindo por
(novamente lembrando que
no domínio considerado):
Distribuindo,
Uma forma mais compacta é fatorar
nos termos que envolvem divisão por
:
Essa é a solução geral, válida em cada intervalo onde
. A constante
é arbitrária e representa a família de soluções.
Resposta
ou equivalentemente
com
constante e válida onde
.