Questão 15. Ache a solução geral das EDO’s:
y^{\prime}=(\operatorname{tg} x) y+\cos (x)\left(\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' = (\tan x)\,y + \cos x
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes: a equação é linear em y (porque aparece y' e y de forma linear) e envolve funções trigonométricas \tan x e \cos x. Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral com uma constante arbitrária. Note que a solução só poderá ser escrita onde \cos x \neq 0 (pois \tan x e fatores como \operatorname{sec} x aparecem).

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem
y' + P(x)\,y = Q(x).
Aqui basta passar o termo com \tan x para o lado esquerdo:
y' - (\tan x)\,y = \cos x.
Portanto
P(x) = -\tan x,\qquad Q(x)=\cos x.
A técnica que usamos é o fator integrante (integrating factor). O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int P(x)\,dx\bigg).
Explico o porquê: multiplicando a equação por \mu(x) queremos que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y, ou seja
\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = (\mu(x)y)'.
Isso acontece exatamente quando \mu'\!=\mu P, e daí \mu=\exp(\int P). É um truque padrão para transformar a equação em algo integrável diretamente.

Passo 3

Calculemos o fator integrante usando P(x)=-\tan x:
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int -\tan x\,dx\bigg).
Sabemos que \dfrac{d}{dx}\big(\ln(\cos x)\big) = -\tan x. Logo
\int -\tan x\,dx = \ln(\cos x) + C,
e podemos escolher C=0 no fator integrante (constante multiplicativa não importa), obtendo
\mu(x)=\exp(\ln(\cos x))=\cos x.
Portanto o fator integrante é \mu(x)=\cos x. Lembrete: isso só faz sentido onde \cos x>0 ou \cos x<0; no geral usamos \cos x nas regiões onde \cos x\neq0.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\cos x. Começamos da forma
y' - (\tan x)\,y = \cos x.
Multiplicando por \cos x obtemos
\cos x\,y' - \cos x\cdot(\tan x)\,y = \cos x\cdot\cos x.
Como \cos x\cdot\tan x=\sin x, isso é
\cos x\,y' - \sin x\,y = \cos^2 x.
Agora observe que, pelo produto, a derivada de \cos x\cdot y é
(\cos x\,y)' = \cos x\,y' + (\cos x)'y = \cos x\,y' - \sin x\,y.
Portanto o lado esquerdo anterior é exatamente a derivada do produto:
(\cos x\,y)' = \cos^2 x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\cos x\,y = \int \cos^2 x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Para integrar \cos^2 x usamos a identidade de dobro ângulo
\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}.
Assim
\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx.
Calculando cada termo:
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{x}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2}=\frac{\sin(2x)}{4}.
Portanto
\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + \tilde C.
(Como já temos uma constante C no passo anterior, podemos incorporar \tilde C nela.) Substituindo \sin(2x)=2\sin x\cos x para simplificar:
\frac{\sin(2x)}{4} = \frac{2\sin x\cos x}{4} = \frac{\sin x\cos x}{2}.
Assim obtemos
\cos x\,y = \frac{x}{2} + \frac{\sin x\cos x}{2} + C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por \cos x (novamente lembrando que \cos x\neq0 no domínio considerado):
y = \frac{1}{\cos x}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin x\cos x}{2} + C\right).
Distribuindo,
y = \frac{x}{2\cos x} + \frac{\sin x}{2} + C\operatorname{sec} x.
Uma forma mais compacta é fatorar \operatorname{sec} x nos termos que envolvem divisão por \cos x:
y = \operatorname{sec} x\left(C + \frac{x}{2}\right) + \frac{\sin x}{2}.
Essa é a solução geral, válida em cada intervalo onde \cos x\neq0. A constante C é arbitrária e representa a família de soluções.

Resposta

y(x)=\frac{x}{2\cos x}+\frac{\sin x}{2}+C\operatorname{sec} x
ou equivalentemente
y(x)=\operatorname{sec} x\Big(C+\tfrac{x}{2}\Big)+\tfrac{\sin x}{2},
com C constante e válida onde \cos x\neq0.

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