Verifique se as equações abaixo são exatas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma diferencial total
com
e a condição inicial
.
O que se pede:
O que se pede:
- Verificar se a equação é exata (ou seja, se existe uma função potencial
com e ). - Resolver a equação (encontrar
) e usar a condição inicial para determinar a constante.
Passo 2
Lembrete rápido e didático sobre exatidão: para uma equação
ser exata numa região onde
e
têm derivadas parciais contínuas, é necessário e suficiente que
Isto significa que a variação de
em relação a
coincide com a variação de
em relação a
, condição típica de existência de uma função potencial.
Calculemos as derivadas parciais pedidas:
Como
a equação é exata na região onde
(para que
esteja definida) — portanto a verificação está feita: é exata.
Passo 3
Agora procuramos a função potencial
tal que
e
. Começamos integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Integramos termo a termo (explicando cada integral):
-
porque é constante na integração em . -
. -
.
Somando e adicionando uma função arbitrária de
,
, que aparece por integrar em
:
Passo 4
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Devemos ter
, ou seja
Comparando os termos, obtemos
Agora integramos
em relação a
:
onde
é constante absoluta. (Aqui usei a integral conhecida
; se precisar, pode derivar para conferir.)
Passo 5
Substituindo
em
, a função potencial geral é
A solução geral implícita da equação exata é então
ou seja
Passo 6
Usamos a condição inicial
para determinar
. Avaliando
em
e
:
-
, , . -
.
Logo
Mas a solução implícita deve satisfazer
constante da solução; chamando esse valor de
, obtemos
. Em outras palavras, a condição inicial fixa a constante em zero.
Passo 7
Portanto a solução particular que satisfaz
é a equação implícita com
:
Esta é a solução final (implícita). Em geral não é possível isolar
em termos de funções elementares de
, então a forma implícita é a forma apropriada da solução.
Resposta
A equação é exata.