Verifique se as equações abaixo são exatas e resolva-as:
\left(y^{2} \cos x-3 x^{2} y-2 x\right) d x+\left(2 y \sin x-x^{3}+\ln y\right) d y=0 ; y(0)=e

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma diferencial total
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=y^{2}\cos x-3x^{2}y-2x, \qquad N(x,y)=2y\sin x-x^{3}+\ln y,
e a condição inicial \,y(0)=e.
O que se pede:
  • Verificar se a equação é exata (ou seja, se existe uma função potencial \Psi(x,y) com \Psi_x=M e \Psi_y=N).
  • Resolver a equação (encontrar \Psi(x,y)=C) e usar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre exatidão: para uma equação M\,dx+N\,dy=0 ser exata numa região onde M e N têm derivadas parciais contínuas, é necessário e suficiente que
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isto significa que a variação de M em relação a y coincide com a variação de N em relação a x, condição típica de existência de uma função potencial.
Calculemos as derivadas parciais pedidas:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\cos x-3x^{2}y-2x\big) =2y\cos x-3x^{2}.
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(2y\sin x-x^{3}+\ln y\big) =2y\cos x-3x^{2}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=2y\cos x-3x^{2},
a equação é exata na região onde y>0 (para que \ln y esteja definida) — portanto a verificação está feita: é exata.

Passo 3

Agora procuramos a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Começamos integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx =\int\big(y^{2}\cos x-3x^{2}y-2x\big)\,dx.
Integramos termo a termo (explicando cada integral):
  • \displaystyle \int y^{2}\cos x\,dx = y^{2}\sin x porque y é constante na integração em x.
  • \displaystyle \int -3x^{2}y\,dx = -y\int 3x^{2}\,dx = -y x^{3}.
  • \displaystyle \int -2x\,dx = -x^{2}.
Somando e adicionando uma função arbitrária de y, H(y), que aparece por integrar em x:
\Psi(x,y)=y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + H(y).

Passo 4

Para determinar H(y), derivamos \Psi em relação a y e igualamos a N:
\Psi_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + H(y)\big) =2y\sin x - x^{3} + H'(y).
Devemos ter \Psi_{y}=N, ou seja
2y\sin x - x^{3} + H'(y) = 2y\sin x - x^{3} + \ln y.
Comparando os termos, obtemos
H'(y)=\ln y.
Agora integramos H'(y) em relação a y:
H(y)=\int \ln y\,dy = y\ln y - y + C,
onde C é constante absoluta. (Aqui usei a integral conhecida \int \ln y\,dy = y\ln y - y; se precisar, pode derivar para conferir.)

Passo 5

Substituindo H(y) em \Psi, a função potencial geral é
\Psi(x,y)=y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + y\ln y - y + C.
A solução geral implícita da equação exata é então
\Psi(x,y)=\text{const},
ou seja
y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + y\ln y - y = C.

Passo 6

Usamos a condição inicial \,y(0)=e para determinar C. Avaliando \Psi em x=0 e y=e:
  • \sin 0=0, 0^{3}=0, 0^{2}=0.
  • \ln e=1.
    Logo
\Psi(0,e)=e^{2}\sin 0 - e\cdot 0 - 0 + e\ln e - e + C = 0 + e\cdot 1 - e + C = 0 + C.
Mas a solução implícita deve satisfazer \Psi(0,e)= constante da solução; chamando esse valor de C_{\text{sol}}, obtemos C_{\text{sol}}=0. Em outras palavras, a condição inicial fixa a constante em zero.

Passo 7

Portanto a solução particular que satisfaz \,y(0)=e é a equação implícita com C=0:
y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + y\ln y - y = 0.
Esta é a solução final (implícita). Em geral não é possível isolar y em termos de funções elementares de x, então a forma implícita é a forma apropriada da solução.

Resposta

A equação é exata.
y^{2}\sin x - y x^{3} - x^{2} + y\ln y - y = 0

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