Verifique se as equações abaixo são homogêneas e resolva-as:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}.
Lista clara do que é solicitado e do que foi dado:
  • Verificar se a função do lado direito é homogênea (ou seja, se a equação é uma equação homogênea).
  • Resolver a equação diferencial (achar a família de soluções gerais).
    Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem e está na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) com f(x,y)=\dfrac{2xy}{x^{2}-y^{2}}.
  • Deve-se ter cuidado com pontos em que o denominador x^{2}-y^{2} se anula (isto é, possíveis singularidades) e com x=0, pois a substituição típica para equações homogêneas usa v=y/x e exige atenção ao domínio.

Passo 2

O que significa ser homogênea e como testar aqui (aula curta e prática).
  • Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se para todo t vale \;f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
  • Para equações diferenciais do tipo \dfrac{dy}{dx}=f(x,y), se f é homogênea de grau 0 (ou seja, f(tx,ty)=f(x,y)), então f depende apenas da razão y/x e a substituição y=vx transforma a EDO em uma de variáveis separáveis.
Teste direto no nosso f:
f(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}.
Calcular f(tx,ty):
f(tx,ty)=\frac{2\,(tx)\,(ty)}{(tx)^{2}-(ty)^{2}} =\frac{2t^{2}xy}{t^{2}(x^{2}-y^{2})} =\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}=f(x,y).
Como f(tx,ty)=f(x,y) para todo t, f é homogênea de grau 0. Conclusão: a equação é homogênea.

Passo 3

Escolha do método e a substituição padrão (motivo e o que significa cada símbolo).
  • Método: usar a substituição \;y=vx, porque f depende só de y/x.
  • Aqui v é uma nova função de x: v(x)=\dfrac{y(x)}{x}. Então y=vx.
  • Derivando ambos os lados em relação a x (regra do produto):
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Agora vamos substituir essa expressão e y=vx na equação original.

Passo 4

Substituição e simplificação algébrica passo a passo.
Substituir em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy}{x^{2}-y^{2}}:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2x\cdot (v x)}{x^{2}-(v x)^{2}}.
Calcular o lado direito simplificando potências de x:
\frac{2x\cdot v x}{x^{2}-v^{2}x^{2}} =\frac{2v x^{2}}{x^{2}(1-v^{2})} =\frac{2v}{1-v^{2}}.
Logo a equação em v fica
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2v}{1-v^{2}}.
Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{2v}{1-v^{2}}-v.
Colocar no mesmo denominador para simplificar:
\frac{2v}{1-v^{2}}-v =v\!\left(\frac{2}{1-v^{2}}-1\right) =v\!\left(\frac{2-(1-v^{2})}{1-v^{2}}\right) =v\!\left(\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right).
Portanto
x\frac{dv}{dx}=v\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}.

Passo 5

Separação de variáveis e integração (com explicação do passo de frações parciais).
  • Reescrever para separar v e x:
\frac{1-v^{2}}{v(1+v^{2})}\,dv=\frac{dx}{x}.
  • Antes de integrar, decompor a função de v em partes mais simples. Fazer a decomposição:
    Procuramos constantes tais que
\frac{1-v^{2}}{v(1+v^{2})}=\frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{1+v^{2}}.
Multiplicando por v(1+v^{2}) e comparando coeficientes obtém-se A=1, C=0, B=-2. Assim
\frac{1-v^{2}}{v(1+v^{2})}=\frac{1}{v}-\frac{2v}{1+v^{2}}.
  • Integrar agora cada termo:
\int\left(\frac{1}{v}-\frac{2v}{1+v^{2}}\right)dv=\int\frac{dx}{x}.
Cálculo das integrais:
\int\frac{1}{v}\,dv=\ln|v|,\qquad \int\frac{2v}{1+v^{2}}\,dv=\ln(1+v^{2}).
Portanto a integração dá
\ln|v|-\ln(1+v^{2})=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltar à forma explícita/implícita da solução e simplificar.
  • Combinar os logaritmos do lado esquerdo:
\ln\!\left(\frac{|v|}{1+v^{2}}\right)=\ln|x|+C.
  • Exponenciando ambos os lados obtemos (absorvendo o sinal/valor absoluto na constante):
\frac{v}{1+v^{2}}=K x,
onde K é uma constante arbitrária (podendo ser real, resultado de e^{C} com sinal absorvido).
  • Substituir v=y/x:
\frac{\tfrac{y}{x}}{1+\left(\tfrac{y}{x}\right)^{2}}=K x.
  • Simplificar a fração (colocar denominador comum):
\frac{y/x}{(x^{2}+y^{2})/x^{2}}=\frac{y x}{x^{2}+y^{2}}.
Logo
\frac{y x}{x^{2}+y^{2}}=K x.
Se x\neq 0 pode-se cancelar x em ambos os lados, obtendo a forma implícita mais simples:
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=K.
Esta é a família de soluções implícitas. Pode-se reescrever como
K y^{2}-y+K x^{2}=0,
se for preciso manipular para isolar y, mas em geral a forma \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}=K é mais direta.

Passo 7

Soluções singulares e observações finais sobre domínio (coisas para prestar atenção na prova).
  • A solução trivial y\equiv 0 também satisfaz a equação: substituindo y=0 obtém-se \dfrac{dy}{dx}=0 e o lado direito é 0, logo é solução.
  • As retas y=\pm x fazem x^{2}-y^{2}=0 tornando o lado direito indefinido; portanto y=\pm x não são soluções regulares da equação (são curvas onde a equação tem singularidade).
  • A substituição v=y/x exigiu x\neq 0. A solução implícita \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}=K vale em regiões onde x e x^{2}+y^{2} não anulam simultaneamente (nota: x^{2}+y^{2}=0 só se x=y=0, ponto isolado).
  • Em resumo: família generalizada dada implicitamente por \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}=K para constante K, mais a solução particular y\equiv 0. Em provas, explique também domínio (por exemplo, considerar x\neq 0 ao aplicar v=y/x).

Resposta

É homogênea de grau 0.\newline
Solução geral implícita: \displaystyle \frac{y}{x^{2}+y^{2}}=K, com K constante.\newline
Solução particular adicional: y\equiv 0.

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