Verifique se as equações abaixo são homogêneas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
Lista clara do que é solicitado e do que foi dado:
- Verificar se a função do lado direito é homogênea (ou seja, se a equação é uma equação homogênea).
- Resolver a equação diferencial (achar a família de soluções gerais).
Informações relevantes fornecidas: - A equação é de primeira ordem e está na forma
com . - Deve-se ter cuidado com pontos em que o denominador
se anula (isto é, possíveis singularidades) e com , pois a substituição típica para equações homogêneas usa e exige atenção ao domínio.
Passo 2
O que significa ser homogênea e como testar aqui (aula curta e prática).
- Uma função
é homogênea de grau se para todo vale . - Para equações diferenciais do tipo
, se é homogênea de grau (ou seja, ), então depende apenas da razão e a substituição transforma a EDO em uma de variáveis separáveis.
Teste direto no nosso
:
Calcular
:
Como
para todo
,
é homogênea de grau
. Conclusão: a equação é homogênea.
Passo 3
Escolha do método e a substituição padrão (motivo e o que significa cada símbolo).
- Método: usar a substituição
, porque depende só de . - Aqui
é uma nova função de : . Então . - Derivando ambos os lados em relação a
(regra do produto):
Agora vamos substituir essa expressão e
na equação original.
Passo 4
Substituição e simplificação algébrica passo a passo.
Substituir em :
Substituir em
Calcular o lado direito simplificando potências de
:
Logo a equação em
fica
Isolando
:
Colocar no mesmo denominador para simplificar:
Portanto
Passo 5
Separação de variáveis e integração (com explicação do passo de frações parciais).
- Reescrever para separar
e :
- Antes de integrar, decompor a função de
em partes mais simples. Fazer a decomposição:
Procuramos constantes tais que
Multiplicando por
e comparando coeficientes obtém-se
,
,
. Assim
- Integrar agora cada termo:
Cálculo das integrais:
Portanto a integração dá
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltar à forma explícita/implícita da solução e simplificar.
- Combinar os logaritmos do lado esquerdo:
- Exponenciando ambos os lados obtemos (absorvendo o sinal/valor absoluto na constante):
onde
é uma constante arbitrária (podendo ser real, resultado de
com sinal absorvido).
- Substituir
:
- Simplificar a fração (colocar denominador comum):
Logo
Se
pode-se cancelar
em ambos os lados, obtendo a forma implícita mais simples:
Esta é a família de soluções implícitas. Pode-se reescrever como
se for preciso manipular para isolar
, mas em geral a forma
é mais direta.
Passo 7
Soluções singulares e observações finais sobre domínio (coisas para prestar atenção na prova).
- A solução trivial
também satisfaz a equação: substituindo obtém-se e o lado direito é , logo é solução. - As retas
fazem tornando o lado direito indefinido; portanto não são soluções regulares da equação (são curvas onde a equação tem singularidade). - A substituição
exigiu . A solução implícita vale em regiões onde e não anulam simultaneamente (nota: só se , ponto isolado). - Em resumo: família generalizada dada implicitamente por
para constante , mais a solução particular . Em provas, explique também domínio (por exemplo, considerar ao aplicar ).
Resposta
É homogênea de grau
.\newline
Solução geral implícita: , com
constante.\newline
Solução particular adicional: .
Solução geral implícita:
Solução particular adicional: