Verifique que as equações abaixo são homogêneas e encontre suas soluções gerais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
Vou interpretar aqui que o símbolo
representa a derivada
(isto é,
), porque o enunciado pede para verificar que a equação é homogênea e encontrar sua solução geral — isso faz sentido para uma EDO de primeira ordem. Portanto, a equação que vamos resolver é
Informações relevantes dadas:
e a equação está na forma
Passo 2
Explico o que significa ser homogênea (de modo prático para este tipo de equação): funções
e
são homogêneas de mesmo grau
se, para todo
,
Se
e
têm o mesmo grau, a equação
é chamada de equação homogênea; nesse caso podemos usar a substituição
(ou
) para reduzir a EDO a uma equação separável.
Passo 3
Verifico o grau de homogeneidade de
e
:
-
. Se aplicamos , obtemos . Logo é homogênea de grau . -
. Aplicando . Logo também é homogênea de grau .
Como ambos têm o mesmo grau, a equação é homogênea. (Fim da verificação pedida.)
Passo 4
Agora começo a resolver a equação. Primeiro isolo
:
Dividindo por
(assumindo
e
no passo algébrico; casos degenerate serão comentados depois),
Note que o lado direito depende apenas das razões
e
, isto é compatível com homogeneidade e sugere a substituição
, onde
é função de
.
Passo 5
Faço a substituição
. Então
Substituindo na equação
obtemos (usando
e
)
Isolando o termo com
:
Passo 6
Coloco a equação na forma separável:
Agora integro os dois lados. Para a integral à esquerda uso a substituição
, de modo que
, então
. Assim
A integral à direita é
Igualando (absorvendo constantes numa só constante
):
Passo 7
Exponencio para eliminar o logaritmo:
onde
é constante real (pode ser positiva ou negativa, então podemos escrever sem o valor absoluto como)
Lembrando que
, substituo de volta:
Multiplicando por
:
Ou, escrevendo de maneira mais compacta,
Passo 8
Interpretação final e soluções explícitas: a solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária real. Podemos também escrever a solução explícita (quando faz sentido tomar raiz):
Observações adicionais simples:
- A família com
fornece as soluções particulares . - Devemos lembrar que
ou pontos onde exigem cuidado ao dividir; as fórmulas acima valem em intervalos onde as operações realizadas (divisão por e ) são permitidas. Soluções constantes triviais não aparecem aqui além de que não satisfaz a equação original (verificar diretamente).