Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
V(x, y)=x \cos ^{2} y \boldsymbol{i}-2 x \operatorname{sen} y \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de velocidade dado é de um escoamento compressível ou incompressível. O campo fornecido é
\mathbf{V}(x,y)=x\cos^{2}y\,\mathbf{i}-2x\sin y\,\mathbf{j}.
Informações claras extraídas do enunciado:
  • A velocidade tem coordenadas bidimensionais (componentes em x e y).
  • A componente na direção x é u(x,y)=x\cos^{2}y.
  • A componente na direção y é v(x,y)=-2x\sin y.
  • A palavra “sen” do enunciado foi interpretada como \sin (seno), portanto uso \sin nas expressões.

Passo 2

Qual o teste mais direto para decidir isso? Uma explicação didática e curta: a condição padrão, para um escoamento ser incompressível com densidade constante, é que a divergência do campo de velocidade seja zero em todo o domínio. Vou usar esse teste porque é o método mais simples e normalmente cobrado em provas.
Um pouco de teoria (curtinha, sem enrolar): a equação da continuidade geral é
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{V})=0,
onde \rho é a densidade e \mathbf{V} o campo de velocidade. Se a densidade \rho é constante no tempo e no espaço (fluido estritamente incompressível), essa equação reduz-se a
\nabla\cdot\mathbf{V}=0.
Aqui \nabla\cdot\mathbf{V} (a divergência) em duas dimensões é definida como
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y},
onde u e v são as componentes do campo nas direções x e y, respectivamente. Farei esse cálculo passo a passo.

Passo 3

Defino explicitamente as componentes para evitar confusão:
u(x,y)=x\cos^{2}y,\qquad v(x,y)=-2x\sin y.
Calculo \dfrac{\partial u}{\partial x}: aqui y é tratado como constante, então \cos^{2}y é apenas um fator constante em relação a x. Assim
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos^{2}y\bigr)=\cos^{2}y.
Agora calculo \dfrac{\partial v}{\partial y}: no termo v=-2x\sin y o fator -2x é constante em relação a y, e a derivada de \sin y é \cos y. Logo
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\sin y\bigr)=-2x\cos y.
Somando as duas parcelas para obter a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=\cos^{2}y-2x\cos y.
Fatorando para ver a estrutura:
\nabla\cdot\mathbf{V}=\cos y\bigl(\cos y-2x\bigr).

Passo 4

Interpretação do resultado:
  • Para o campo ser incompressível (com densidade constante) seria necessário que \nabla\cdot\mathbf{V}=0 para todo (x,y) no domínio.
  • A expressão encontrada \cos y(\cos y-2x) não é identicamente zero para todos os (x,y): ela só se anula em pontos que satisfazem \cos y=0 ou \cos y=2x. Ou seja, existem pontos/curvas onde a divergência é zero, mas não é zero em geral por todo o domínio.
  • Portanto o campo NÃO satisfaz a condição \nabla\cdot\mathbf{V}=0 globalmente, logo não representa um escoamento incompressível uniforme (com densidade constante). Na prática isso indica que o escoamento é compressível (ou, ao menos, não pode ser tratado como incompressível no sentido clássico).
Breve comentário prático: em provas, o procedimento é exatamente esse — calcular \nabla\cdot\mathbf{V}. Se der zero identicamente, marca incompressível; se não, marca compressível.

Resposta

Compressível.

Exercícios relacionados