Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo de velocidade dado é de um escoamento compressível ou incompressível. O campo fornecido é
Informações claras extraídas do enunciado:
- A velocidade tem coordenadas bidimensionais (componentes em
e ). - A componente na direção
é . - A componente na direção
é . - A palavra “sen” do enunciado foi interpretada como
(seno), portanto uso nas expressões.
Passo 2
Qual o teste mais direto para decidir isso? Uma explicação didática e curta: a condição padrão, para um escoamento ser incompressível com densidade constante, é que a divergência do campo de velocidade seja zero em todo o domínio. Vou usar esse teste porque é o método mais simples e normalmente cobrado em provas.
Um pouco de teoria (curtinha, sem enrolar): a equação da continuidade geral é
onde
é a densidade e
o campo de velocidade. Se a densidade
é constante no tempo e no espaço (fluido estritamente incompressível), essa equação reduz-se a
Aqui
(a divergência) em duas dimensões é definida como
onde
e
são as componentes do campo nas direções
e
, respectivamente. Farei esse cálculo passo a passo.
Passo 3
Defino explicitamente as componentes para evitar confusão:
Calculo
: aqui
é tratado como constante, então
é apenas um fator constante em relação a
. Assim
Agora calculo
: no termo
o fator
é constante em relação a
, e a derivada de
é
. Logo
Somando as duas parcelas para obter a divergência:
Fatorando para ver a estrutura:
Passo 4
Interpretação do resultado:
- Para o campo ser incompressível (com densidade constante) seria necessário que
para todo no domínio. - A expressão encontrada
não é identicamente zero para todos os : ela só se anula em pontos que satisfazem ou . Ou seja, existem pontos/curvas onde a divergência é zero, mas não é zero em geral por todo o domínio. - Portanto o campo NÃO satisfaz a condição
globalmente, logo não representa um escoamento incompressível uniforme (com densidade constante). Na prática isso indica que o escoamento é compressível (ou, ao menos, não pode ser tratado como incompressível no sentido clássico).
Breve comentário prático: em provas, o procedimento é exatamente esse — calcular
. Se der zero identicamente, marca incompressível; se não, marca compressível.
Resposta
Compressível.