Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolvaas.
(c)
(2 x-1)+(3 y+7) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 2x - 1, \quad N(x,y) = 3y + 7.
Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Para exatidão precisamos checar
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 0,
temos \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, logo a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M = 2x - 1, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N = 3y + 7.
Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int (2x - 1)\,dx = x^2 - x + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Derivando em relação a y:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = h'(y) \stackrel{!}{=} 3y + 7 \;\Longrightarrow\; h'(y) = 3y + 7 \;\Longrightarrow\; h(y) = \frac{3}{2}y^2 + 7y.

Passo 4

Assim a função potencial é
\Psi(x,y) = x^2 - x + \frac{3}{2}y^2 + 7y.
A solução geral implícita vem de
\Psi(x,y) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2 - x + \frac{3}{2}y^2 + 7y = C.

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