Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolvaas.
(b)
\left(2 y e^{{2 x}}-y \operatorname{sen}(x y)+3 x^{{2}}\right)+\left(e^{{2 x}}-x \operatorname{sen}(x y)\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial em forma implícita
\bigl(2y e^{2x}-y\sin(xy)+3x^{2}\bigr)\;+\;\bigl(e^{2x}-x\sin(xy)\bigr)\,\frac{dy}{dx}=0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Lembrando que, numa equação da forma
M(x,y)+N(x,y)\,\frac{dy}{dx}=0,
ela é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x},
e, então, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x = M \quad\text{e}\quad \psi_y = N,
cuja solução implícita é \psi(x,y)=\text{constante}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2y e^{2x}-y\sin(xy)+3x^{2}, \quad N(x,y)=e^{2x}-x\sin(xy).
Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =2e^{2x} -\sin(xy) -xy\cos(xy),
\frac{\partial N}{\partial x} =2e^{2x} -\sin(xy) -xy\cos(xy).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter \psi(x,y), integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(2y e^{2x}-y\sin(xy)+3x^{2}\bigr)\,dx.
Fazendo termo a termo,
\int2y e^{2x}\,dx = y e^{2x},
\int\bigl(-y\sin(xy)\bigr)\,dx =-\int y\sin(t)\,\frac{dt}{y} =-\int\sin t\,dt =\cos t =\cos(xy),
\int3x^{2}\,dx = x^{3}.
Logo
\psi(x,y)=y e^{2x}+\cos(xy)+x^{3}+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivando \psi em relação a y e igualando a N(x,y):
\psi_y =e^{2x} - x\sin(xy) + h'(y) \overset{!}{=} e^{2x}-x\sin(xy).
Daí vem h'(y)=0, logo h(y)=\text{constante}.

Passo 5

Portanto, a solução geral (implícita) fica
\psi(x,y)=y e^{2x}+\cos(xy)+x^{3}=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

y e^{2x} + \cos(xy) + x^{3} = C.

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