Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolvaas.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial em forma implícita
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Lembrando que, numa equação da forma
ela é exata se
e, então, existe uma função potencial
tal que
cuja solução implícita é
.
Passo 2
Identificamos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para obter
, integramos
em relação a
:
Fazendo termo a termo,
Logo
onde
é função a determinar.
Passo 4
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Daí vem
, logo
.
Passo 5
Portanto, a solução geral (implícita) fica
com
constante arbitrária.