Encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou ou as séries de Maclaurin listadas na Tabela 11.10.1.
f(x)=(1-3 x)^-5

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=(1-3x)^-5
e o raio de convergência.
O conteúdo que vamos usar é a expansão binomial generalizada (ou série de Maclaurin para (1-u)^-alpha).

Passo 2

Lembrando que, para alpha>0, temos a série de Maclaurin
(1 - u)^-alpha = sumn=0^infty binomalpha + n -1n,u^n,
válida para lvert urvert<1.
No nosso caso alpha=5, logo
(1 - u)^-5 = sumn=0^infty binom5 + n -1n,u^n = sumn=0^infty binomn+4n,u^n

Passo 3

Agora fazemos u=3x. Assim
f(x) = (1 - 3x)^-5 = sumn=0^infty binomn+4n,(3x)^n = sumn=0^infty binomn+44,3^n,x^n
Se quisermos, podemos escrever explicitamente
binomn+44 = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)4! = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)24,
ficando
f(x) = sumn=0^infty (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)24,3^n,x^n

Passo 4

Para achar o raio de convergência, usamos a condição da série binomial:
|u|<1 Longrightarrow |3x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac13
Logo o raio de convergência é R = tfrac13.

Resposta

A série de Maclaurin é
(1-3x)^-5 = sumn=0^infty binomn+44,3^n,x^n = sumn=0^infty (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)24,3^n,x^n,
e o raio de convergência é R = tfrac13.

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