Verifique se as equações diferenciais são exatas ou não e as resolva:
\left(4 x^{3} y^{3}-2 x y\right) d x+\left(3 x^{4} y^{2}-x^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(4x^{3}y^{3}-2xy\bigr)\,dx \;+\;\bigl(3x^{4}y^{2}-x^{2}\bigr)\,dy=0.
Queremos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral implícita. Para isso, identificamos
M(x,y)=4x^{3}y^{3}-2xy \quad\text{e}\quad N(x,y)=3x^{4}y^{2}-x^{2},
aplicamos o critério de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e, se for exata, buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que \partial\psi/\partial x=M e \partial\psi/\partial y=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{3}-2xy\bigr) =12x^{3}y^{2}-2x,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{4}y^{2}-x^{2}\bigr) =12x^{3}y^{2}-2x.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial \psi(x,y), integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(4x^{3}y^{3}-2xy\bigr)\,dx =x^{4}y^{3}-x^{2}y+H(y),
onde H(y) é uma função a determinar. Agora impomos
\frac{\partial\psi}{\partial y} =3x^{4}y^{2}-x^{2}+H'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y)=3x^{4}y^{2}-x^{2},
logo H'(y)=0 e H(y) é constante.

Passo 4

A solução geral implícita vem de
\psi(x,y)=x^{4}y^{3}-x^{2}y=\;C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{4}y^{3}-x^{2}y=C.

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