Verifique se as equações diferenciais são exatas ou não e as resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se é exata e, se não for, encontrar sua solução geral. Vamos usar o teste de exatidão e, em seguida, fator integrante.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
que é função apenas de
. Logo
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Passo 4
Agora com
verificamos a exatidão:
portanto é exata. Existe uma função potencial
tal que
Passo 5
Integramos
em relação a
:
Depois, impomos
o que dá
e
.
Resposta
onde
é constante arbitrária.