Verifique se as equações diferenciais são exatas ou não e as resolva:
\left(x^{4}+y^{4}\right) d x+x y^{3} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(x^{4}+y^{4})\,dx + x\,y^{3}\,dy = 0
e pede para verificar se é exata e, se não for, encontrar sua solução geral. Vamos usar o teste de exatidão e, em seguida, fator integrante.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = x^{4}+y^{4},\quad N(x,y) = x\,y^{3}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y^{3}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y^{3}.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. Usamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{4y^{3}-y^{3}}{x\,y^{3}} = \frac{3}{x},
que é função apenas de x. Logo
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = x^{3}.
Multiplicando a equação original por x^{3}, obtemos
x^{3}(x^{4}+y^{4})\,dx + x^{3}\cdot x\,y^{3}\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; (x^{7} + x^{3}y^{4})\,dx + x^{4}y^{3}\,dy = 0.

Passo 4

Agora com
\widetilde M(x,y)=x^{7}+x^{3}y^{4}, \qquad \widetilde N(x,y)=x^{4}y^{3},
verificamos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 4x^{3}y^{3}, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 4x^{3}y^{3},
portanto é exata. Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = \widetilde M, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} = \widetilde N.

Passo 5

Integramos \widetilde M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (x^{7} + x^{3}y^{4})\,dx = \frac{x^{8}}{8} + \frac{x^{4}y^{4}}{4} + h(y).
Depois, impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x^{4}y^{3} + h'(y) \overset!= \widetilde N = x^{4}y^{3},
o que dá h'(y)=0 e h(y)=\text{constante}.

Resposta

\frac{x^{8}}{8} + \frac{x^{4}y^{4}}{4} = C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados