Verifique se as equações diferenciais são exatas ou não e as resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e nos pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, que requer conferir se
onde
e
, e então encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em relação a
, mantendo
como constante, obtemos
onde
é função arbitrária de
.
Passo 4
Agora impomos
Calculando
a partir de
, temos
Igualando a
:
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante de integração.