Verifique se as equações diferenciais são exatas ou não e as resolva:
\left(x^{3}+y^{3}\right)+\left(3 x y^{2}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)+\bigl(3xy^{2}\bigr)\frac{dy}{dx}=0
e nos pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, que requer conferir se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
onde M(x,y)=x^{3}+y^{3} e N(x,y)=3xy^{2}, e então encontrar uma função potencial F(x,y) tal que \partial F/\partial x=M e \partial F/\partial y=N.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr) =3y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2}\bigr) =3y^{2}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y) = x^{3}+y^{3}.
Integrando em relação a x, mantendo y como constante, obtemos
F(x,y) =\int\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)\,dx =\frac{x^{4}}{4}+xy^{3}+h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial F}{\partial y} = N(x,y) =3xy^{2}.
Calculando \partial F/\partial y a partir de \displaystyle F(x,y)=\frac{x^{4}}{4}+xy^{3}+h(y), temos
\frac{\partial F}{\partial y} =3xy^{2}+h'(y).
Igualando a N(x,y):
3xy^{2}+h'(y)=3xy^{2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\text{constante}.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
\frac{x^{4}}{4}+xy^{3}=C,
onde C é constante de integração.

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