Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolvas as que forem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar a definição: uma equação
é exata se
então buscamos uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Como
a equação é exata.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Impondo
, temos
Isso leva a
, logo
. Assim
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante de integração.