Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolvas as que forem.
\left(y+2 x y^{3}\right) d x+\left(1+3 x^{2} y^{2}+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
\bigl(y+2xy^{3}\bigr)\,dx+\bigl(1+3x^{2}y^{2}+x\bigr)\,dy=0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar a definição: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
então buscamos uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi=M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=y+2x y^{3}, \quad N(x,y)=1+3x^{2}y^{2}+x.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y+2xy^{3}\bigr) =1+6xy^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1+3x^{2}y^{2}+x\bigr) =1+6xy^{2}.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} =1+6xy^{2} =\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata.

Passo 4

Para encontrar a função potencial \Psi(x,y), integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(y+2xy^{3}\bigr)\,dx =xy + x^{2}y^{3} + \varphi(y),
onde \varphi(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo \partial\Psi/\partial y=N, temos
\frac{\partial\Psi}{\partial y} =x+3x^{2}y^{2}+\varphi'(y) \stackrel{!}{=} 1+3x^{2}y^{2}+x.
Isso leva a \varphi'(y)=1, logo \varphi(y)=y. Assim
\Psi(x,y)=xy + x^{2}y^{3} + y.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
xy + x^{2}y^{3} + y = C,
onde C é constante de integração.

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