Calcule a derivada da função f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{3}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}
e o que queremos é sua derivada. O conteúdo matemático envolvido é a regra da cadeia, usada para derivar composições de funções.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia. Definimos
u(x)=x^{2}+1,
então f(x)=u(x)^{3}. Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(u^{3}\bigr)=3u^{2} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.
Logo, pela regra da cadeia,
f'(x) =\frac{d}{du}\bigl(u^{3}\bigr)\bigg|_{u=u(x)}\cdot u'(x) =3\,u(x)^{2}\cdot2x =6x\,(x^{2}+1)^{2}.

Resposta

f'(x)=6x\,(x^{2}+1)^{2}.

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