Calcule a derivada da função f(x)\left(x^{2}+1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)\,(x^{2}+1)^{3}.
O conteúdo necessário envolve a regra do produto e, ao derivar (x^{2}+1)^{3}, a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: se
u = f(x) \quad\text{e}\quad v = (x^{2}+1)^{3},
então
\frac{d}{dx}[u\,v] = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Calculamos v' usando a regra da cadeia. Temos
v = (x^{2}+1)^{3},
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v' = 3\,(x^{2}+1)^{2} \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}+1) = 3\,(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x = 6x\,(x^{2}+1)^{2}.

Passo 4

Substituindo u'=f'(x) e v' na regra do produto, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\,(x^{2}+1)^{3}\bigr] = f'(x)\,(x^{2}+1)^{3} + f(x)\,\bigl[6x\,(x^{2}+1)^{2}\bigr].

Resposta

\boxed{ f'(x)\,(x^{2}+1)^{3} \;+\; 6x\,f(x)\,(x^{2}+1)^{2} }.

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