Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolvas as que forem.
x e^{x y} d x+y e^{x y} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
x\,e^{xy}\,dx \;+\; y\,e^{xy}\,dy \;=\; 0
é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem exatas e, se não for exata, procuramos um fator integrante que dependa de x e/ou y.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=x\,e^{xy}, \quad N(x,y)=y\,e^{xy}.
Calculamos as parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = x\;\frac{\partial}{\partial y}e^{xy} = x\,(x\,e^{xy}) = x^2\,e^{xy},
\frac{\partial N}{\partial x} = y\;\frac{\partial}{\partial x}e^{xy} = y\,(y\,e^{xy}) = y^2\,e^{xy}.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x (exceto na reta x^2=y^2), a equação não é exata em geral.

Passo 3

Observamos que e^{xy} é sempre diferente de zero, então podemos dividir a equação original por e^{xy} (equação equivalente) e obter
x\,dx \;+\; y\,dy \;=\; 0.
Esta nova forma é manifestamente exata, pois define o diferencial de uma função \varphi(x,y):
d\varphi = x\,dx + y\,dy.

Passo 4

Integramos cada termo para encontrar \varphi(x,y). Primeiro, integramos em relação a x:
\varphi(x,y)=\int x\,dx + h(y) =\frac{x^2}{2}+h(y).
Depois, usamos \partial \varphi/\partial y = y para achar h(y):
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = h'(y) \;\stackrel!=\; y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{y^2}{2}.
Logo,
\varphi(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}.
A condição implícita geral é
\varphi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; \frac{x^2+y^2}{2}=C \;\Longrightarrow\; x^2+y^2=\tilde C.

Resposta

A equação original não é exata, mas ao dividir por e^{xy} fica exata e sua solução geral é
x^2+y^2=C,
onde C é constante.

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