Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolvas as que forem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem exatas e, se não for exata, procuramos um fator integrante que dependa de
e/ou
.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos as parciais:
Como
(exceto na reta
), a equação não é exata em geral.
Passo 3
Observamos que
é sempre diferente de zero, então podemos dividir a equação original por
(equação equivalente) e obter
Esta nova forma é manifestamente exata, pois define o diferencial de uma função
:
Passo 4
Integramos cada termo para encontrar
. Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, usamos
para achar
:
Logo,
A condição implícita geral é
Resposta
A equação original não é exata, mas ao dividir por
fica exata e sua solução geral é
onde
é constante.