Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolvas as que forem.
y e^{x y} d x+x e^{x y} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,e^{x y}\,dx \;+\; x\,e^{x y}\,dy \;=\;0
Estamos no tema de equações exatas. Identificamos
M(x,y)=y\,e^{x y}, \qquad N(x,y)=x\,e^{x y}.
Para ser exata, precisamos de
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\; \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos as parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{x y}\bigr) =e^{x y}+x y\,e^{x y},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{x y}\bigr) =e^{x y}+x y\,e^{x y}.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata. Logo, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x=M, \qquad \psi_y=N,
e a solução geral vem de \psi(x,y)=C.

Passo 4

Integramos \psi_x=M em relação a x:
\psi(x,y) =\int y\,e^{x y}\,dx =y\int e^{u}\frac{du}{y} =\int e^{u}du =e^{u} =e^{x y} +h(y),
onde u=x y e h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora impomos \psi_y=N. Temos
\psi_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}+h(y)\bigr) =x\,e^{x y}+h'(y)
deve ser igual a N=x\,e^{x y}. Logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

Portanto a solução implícita é
\psi(x,y)=e^{x y}=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

e^{x y}=C.

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