Escreva sob a forma de diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as.
y^{\prime}=\frac{x^{2} y-y}{y+1} ; y(3)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = \frac{x^{2}y - y}{y + 1}
com condição inicial y(3)=-1.
O conteúdo é separação de variáveis: vamos reescrever y' = \frac{dy}{dx} e isolar termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Reescrevendo em termos de diferenciais, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{y\,(x^{2}-1)}{y+1}.
Multiplicamos ambos os lados por \tfrac{y+1}{y}\,dx, obtendo
\frac{y+1}{y}\,dy = (x^{2}-1)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int \frac{y+1}{y}\,dy \;=\;\int (x^{2}-1)\,dx.
No lado esquerdo,
\frac{y+1}{y} = 1 + \frac{1}{y}
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\int \Bigl(1 + \frac{1}{y}\Bigr)\,dy = \int 1\,dy + \int \frac{1}{y}\,dy = y + \ln\bigl|y\bigr|.
No lado direito,
\int (x^{2}-1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - x + C.

Passo 4

A solução geral fica, de forma implícita,
y + \ln\bigl|y\bigr| = \frac{x^{3}}{3} - x + C.

Passo 5

Impondo y(3)=-1, calculamos C:
no lado esquerdo,
y(3) + \ln\bigl|y(3)\bigr| = -1 + \ln(1) = -1;
no lado direito,
\frac{3^{3}}{3} - 3 + C = 9 - 3 + C = 6 + C.
Igualando -1 = 6 + C
C = -7.

Passo 6

Substituindo C=-7, a solução particular (implícita) é
y + \ln\bigl|y\bigr| = \frac{x^{3}}{3} - x - 7.

Resposta

y + \ln\bigl|y\bigr| = \frac{x^{3}}{3} - x - 7.

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