Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
\left(y+x^{4} y^{2}\right) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y + x^{4}y^{2}\bigr)\,dx + x\,dy = 0
que não é exata. O conteúdo aqui é encontrar um fator integrante \mu(x,y) de forma a tornar a equação exata e, em seguida, resolver por potencial. Vamos buscar \mu(x,y) na forma \mu = x^{a}y^{b}.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y) = y + x^{4}y^{2},\quad N(x,y) = x,
verificamos a não exatidão pois
\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2x^{4}y,\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1,
e 1 + 2x^{4}y \neq 1.

Passo 3

Supondo \mu = x^{a}y^{b}, temos
\tilde M = \mu M = x^{a}y^{b}(y + x^{4}y^{2}) = x^{a}y^{b+1} + x^{a+4}y^{b+2},
\tilde N = \mu N = x^{a}y^{b}\,x = x^{a+1}y^{b}.
Para exatidão precisamos de
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} =\frac{\partial \tilde N}{\partial x}.
Calculando e igualando coeficientes em x^{4}y e constante, obtemos
b+2 = 0,\quad b+1 = a+1 \quad\Longrightarrow\quad a = -2,\;b=-2.
Logo
\mu(x,y) = x^{-2}y^{-2} = \frac{1}{x^{2}y^{2}}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu, vem
\Bigl(\tfrac{y + x^{4}y^{2}}{x^{2}y^{2}}\Bigr)\,dx + \tfrac{x}{x^{2}y^{2}}\,dy = 0 \;\Longrightarrow\; \Bigl(\tfrac{1}{x^{2}y} + x^{2}\Bigr)\,dx + \tfrac{1}{x y^{2}}\,dy = 0.
Chamando
\tilde M = \frac{1}{x^{2}y} + x^{2},\quad \tilde N = \frac{1}{x y^{2}},
vemos que
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = -\frac{1}{x^{2}y^{2}},\quad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} = -\frac{1}{x^{2}y^{2}},
logo a equação é exata.

Passo 5

Existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \tilde M,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \tilde N.
Integrando \tilde M em x,
\varphi(x,y) = \int\Bigl(\frac{1}{x^{2}y} + x^{2}\Bigr)dx = -\frac{1}{x y} + \frac{x^{3}}{3} + h(y).
Derivando em y e igualando a \tilde N,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{1}{x y^{2}} + h'(y) \overset!= \frac{1}{x y^{2}} \;\Longrightarrow\; h'(y)=0.
Logo
\varphi(x,y) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x y}.

Resposta

A condição implícita da solução geral é
\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x y} = C,
e o fator integrante apropriado é
\mu(x,y) = \frac{1}{x^{2}y^{2}}.

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