Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que não é exata. O conteúdo aqui é encontrar um fator integrante
de forma a tornar a equação exata e, em seguida, resolver por potencial. Vamos buscar
na forma
.
Passo 2
Escrevendo
verificamos a não exatidão pois
e
.
Passo 3
Supondo
, temos
Para exatidão precisamos de
Calculando e igualando coeficientes em
e constante, obtemos
Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, vem
Chamando
vemos que
logo a equação é exata.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integrando
em
,
Derivando em
e igualando a
,
Logo
Resposta
A condição implícita da solução geral é
e o fator integrante apropriado é