Verifique se as equações são exatas e as resolva.
Determine o valor de k para que a equação seja exata e resolva
Determine o valor de k para que a equação seja exata e resolva
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
com
e pede (i) o valor de
que torna a equação exata e (ii) a solução que satisfaça
. Para que seja exata, devemos ter
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando
Passo 3
Com
, integramos
em relação a
para encontrar uma potencial
:
Derivando em
e igualando a
:
Logo a solução implícita é
Passo 4
Usamos a condição inicial
. Em
, qualquer
satisfaz
, então
A solução final fica
Resposta
k
Solução implícita:
Solução implícita: