Verifique se as equações são exatas e as resolva.
Determine o valor de k para que a equação seja exata e resolva
\left(6 x y^{3}+\cos y\right) d x+\left(k x^{2} y^{2}-x \sin y\right) d y=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=6x y^{3}+\cos y, \quad N(x,y)=k x^{2}y^{2}-x\sin y
e pede (i) o valor de k que torna a equação exata e (ii) a solução que satisfaça y(0)=1. Para que seja exata, devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =18x y^{2}-\sin y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =2k x y^{2}-\sin y.
Igualando
18x y^{2}-\sin y = 2k x y^{2}-\sin y \;\Longrightarrow\; 18x y^{2}=2k x y^{2} \;\Longrightarrow\; k=9.

Passo 3

Com k=9, integramos M em relação a x para encontrar uma potencial \varphi(x,y):
\varphi(x,y) =\int\bigl(6x y^{3}+\cos y\bigr)\,dx =3x^{2}y^{3}+x\cos y + h(y).
Derivando em y e igualando a N:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =9x^{2}y^{2}-x\sin y + h'(y) \overset{!}{=}9x^{2}y^{2}-x\sin y \;\Longrightarrow\; h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=\text{const}.
Logo a solução implícita é
\varphi(x,y)=3x^{2}y^{3}+x\cos y=C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0, qualquer y satisfaz 3\cdot0^{2}\cdot y^{3}+0\cdot\cos y=0, então C=0. A solução final fica
3x^{2}y^{3}+x\cos y=0.

Resposta

k =9
Solução implícita:
3x^{2}y^{3}+x\cos y=0.

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