Verifique se as equações são exatas e as resolva.
\left(2 y^{2} x-3\right) d x+\left(2 y x^{2}+4\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(2y^2x - 3)\,dx + (2yx^2 + 4)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar o conceito de equação diferencial exata: existe uma função potencial \psi(x,y) tal que \frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y) e \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 2y^2x - 3, \quad N(x,y) = 2yx^2 + 4.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2y^2x - 3) = 4xy,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2yx^2 + 4) = 4xy.
Como \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \psi(x,y) tal que \psi_x = M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (2y^2x - 3)\,dx = x^2y^2 - 3x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Agora impomos \psi_y = N:
\psi_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y^2 - 3x + h(y)) = 2x^2y + h'(y) \stackrel{!}{=} 2x^2y + 4.
Logo h'(y)=4, de onde h(y)=4y. Assim
\psi(x,y) = x^2y^2 - 3x + 4y.

Resposta

x^2y^2 - 3x + 4y = C.

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