Verifique que as equações a seguir são exatas e as resolva.
\left(2 x y^{2}-3\right) d x+\left(2 y x^{2}+4\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede que se verifique que a equação diferencial
\left(2 x y^{2}-3\right)\,dx+\left(2 y x^{2}+4\right)\,dy=0
é exata e que se a resolva. As informações explícitas do enunciado são:
  • A equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, com M(x,y)=2x y^{2}-3, \qquad N(x,y)=2y x^{2}+4.
  • Pedem duas coisas: (1) verificar exatidão; (2) encontrar a solução geral (a integral implícita).

Passo 2

O que significa “exata” e como verificar — mini-aula:
  • Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata em um domínio onde M e N têm derivadas parciais contínuas se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x(x,y)=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \Psi_y(x,y)=N(x,y).Aqui \Psi_x é a derivada parcial de \Psi em relação a x (mantendo y fixo) e \Psi_y é a derivada parcial em relação a y.
  • Uma condição prática e fácil de verificar é comparar as derivadas parciais: \frac{\partial M}{\partial y}\stackrel{?}{=}\frac{\partial N}{\partial x}.Se essa igualdade vale num domínio, a equação é exata nesse domínio. Isso vem da igualdade mista das segundas derivadas de \Psi: \Psi_{xy}=\Psi_{yx}.

Passo 3

Aplicando a condição prática ao problema (cálculos passo a passo):
  • Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}: \frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{2}-3\big)=2x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)=2x\cdot 2y=4xy.
  • Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}: \frac{\partial}{\partial x}\big(2y x^{2}+4\big)=2y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)=2y\cdot 2x=4xy.
  • Conclusão: \dfrac{\partial M}{\partial y}=4xy=\dfrac{\partial N}{\partial x}. Logo a equação é exata (pelo menos onde as funções são bem definidas, isto é, para todo (x,y) no plano).

Passo 4

Como achar a função potencial \Psi(x,y) — mini-aula prática:
  • Se \Psi_x=M, podemos recuperar \Psi integrando M em relação a x, tratando y como constante. Ao integrar, aparece uma “constante” de integração que pode depender de y: chamaremos de h(y).
  • Depois diferenciamos o resultado em relação a y e igualamos a N para determinar h(y).
  • Formalmente: \Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx + h(y).Depois exigimos \Psi_y=N para achar h(y).

Passo 5

Integração de M em relação a x (contando todos os passos):
  • Integrar M(x,y)=2x y^{2}-3 em x: \int (2x y^{2}-3)\,dx = \int 2x y^{2}\,dx - \int 3\,dx.Aqui y é tratado como constante durante a integração.
  • Calcule cada termo: \int 2x y^{2}\,dx = 2 y^{2}\int x\,dx = 2 y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y^{2},
\int 3\,dx = 3x.
  • Portanto a integral é \Psi(x,y)=x^{2}y^{2}-3x + h(y),onde h(y) é uma função ainda desconhecida de y.

Passo 6

Determinar h(y) comparando \Psi_y com N:
  • Calcule \Psi_y a partir do candidato: \Psi_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}-3x + h(y)\big)=2x^{2}y + h'(y).(Aqui -3x é constante em relação a y, por isso some como zero.)
  • Igualar a N(x,y)=2yx^{2}+4: 2x^{2}y + h'(y)=2x^{2}y + 4.
  • Subtraindo 2x^{2}y dos dois lados obtém-se h'(y)=4.
  • Integrando em relação a y: h(y)=\int 4\,dy=4y + C_0,onde C_0 é constante.

Passo 7

Escrever a função potencial completa e a solução geral:
  • Substituindo h(y) em \Psi: \Psi(x,y)=x^{2}y^{2}-3x + 4y + C_0.
  • A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Psi(x,y)=\text{constante}. Podemos absorver C_0 numa constante geral C. Assim a família de curvas solução é x^{2}y^{2}-3x + 4y = C,com C arbitrário real.

Passo 8

Verificação rápida (checagem) — mini-aula de boa prática:
  • Se derivarmos implicitamente \Psi(x,y)=C, obtemos d\Psi=\Psi_x\,dx+\Psi_y\,dy=0,isto é, (2x y^{2}-3)\,dx+(2y x^{2}+4)\,dy=0,que é exatamente a equação original. Portanto a solução encontrada é consistente.

Resposta

x^{2}y^{2}-3x+4y=C

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