Verifique que as equações a seguir são exatas e as resolva.
.
Passo 1
O enunciado pede que se verifique que a equação diferencial
é exata e que se a resolva. As informações explícitas do enunciado são:
- A equação diferencial na forma
, com - Pedem duas coisas: (1) verificar exatidão; (2) encontrar a solução geral (a integral implícita).
Passo 2
O que significa “exata” e como verificar — mini-aula:
- Uma equação diferencial na forma
é exata em um domínio onde e têm derivadas parciais contínuas se existe uma função potencial tal que Aqui é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo) e é a derivada parcial em relação a . - Uma condição prática e fácil de verificar é comparar as derivadas parciais:
Se essa igualdade vale num domínio, a equação é exata nesse domínio. Isso vem da igualdade mista das segundas derivadas de : .
Passo 3
Aplicando a condição prática ao problema (cálculos passo a passo):
- Calcular
: - Calcular
: - Conclusão:
. Logo a equação é exata (pelo menos onde as funções são bem definidas, isto é, para todo no plano).
Passo 4
Como achar a função potencial
— mini-aula prática:
- Se
, podemos recuperar integrando em relação a , tratando como constante. Ao integrar, aparece uma “constante” de integração que pode depender de : chamaremos de . - Depois diferenciamos o resultado em relação a
e igualamos a para determinar . - Formalmente:
Depois exigimos para achar .
Passo 5
Integração de
em relação a
(contando todos os passos):
- Integrar
em : Aqui é tratado como constante durante a integração. - Calcule cada termo:
- Portanto a integral é
onde é uma função ainda desconhecida de .
Passo 6
Determinar
comparando
com
:
- Calcule
a partir do candidato: (Aqui é constante em relação a , por isso some como zero.) - Igualar a
: - Subtraindo
dos dois lados obtém-se - Integrando em relação a
: onde é constante.
Passo 7
Escrever a função potencial completa e a solução geral:
- Substituindo
em : - A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
. Podemos absorver numa constante geral . Assim a família de curvas solução é com arbitrário real.
Passo 8
Verificação rápida (checagem) — mini-aula de boa prática:
- Se derivarmos implicitamente
, obtemos isto é, que é exatamente a equação original. Portanto a solução encontrada é consistente.