Sejam
o conjunto dos polinômios da forma
, para
, e
o conjunto dos polinômios da forma
, para
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
, o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 2:
– , que é gerado por
.
– , que é o espaço dos polinômios lineares.
Queremos mostrar que cada polinômio de grau pode ser escrito de modo único como soma de um elemento de
e outro de
. Isso equivale a provar que
–
–
Queremos mostrar que cada polinômio de grau
-
. -
.
Passo 2
Para ver que
, tome um polinômio genérico
com
. Queremos escrever
com
e
. Se escolhermos
então claramente
e
. Somando,
Logo qualquer
está em
, ou seja
.
Passo 3
Para mostrar que
, seja
. Então
para certos
. Igualando coeficientes de
vem
. Substituindo de volta, obtemos
e portanto
,
. Assim a única interseção é o polinômio zero.
Resposta
Como
e
, concluímos que