Sejam W_{1} o conjunto dos polinômios da forma p_{1}(t)=a+a t+a t^{2}, para a \in \mathbb{R}, e W_{2} o conjunto dos polinômios da forma p_{2}(t)=b+c t, para b, c \in \mathbb{R}. Mostre que P_{2}=W_{1} \oplus W_{2}

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathcal P_{2}, o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 2:
W_{1}=\{\,p_{1}(t)=a + a\,t + a\,t^{2}\mid a\in\mathbb R\}, que é gerado por 1+t+t^{2}.
W_{2}=\{\,p_{2}(t)=b + c\,t\mid b,c\in\mathbb R\}, que é o espaço dos polinômios lineares.
Queremos mostrar que cada polinômio de grau <=2 pode ser escrito de modo único como soma de um elemento de W_{1} e outro de W_{2}. Isso equivale a provar que
  1. W_{1} + W_{2} = \mathcal P_{2}.
  2. W_{1}\cap W_{2} = \{0\}.

Passo 2

Para ver que W_{1}+W_{2}=\mathcal P_{2}, tome um polinômio genérico
p(t)=\alpha + \beta\,t + \gamma\,t^{2}
com \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R. Queremos escrever
p(t)=p_{1}(t)+p_{2}(t)
com p_{1}\in W_{1} e p_{2}\in W_{2}. Se escolhermos
p_{1}(t)=\gamma\,(1+t+t^{2}) \quad\text{e}\quad p_{2}(t) = (\alpha-\gamma) + (\beta-\gamma)\,t,
então claramente p_{1}\in W_{1} e p_{2}\in W_{2}. Somando,
p_{1}(t)+p_{2}(t) =\gamma + \gamma t + \gamma t^{2} + (\alpha-\gamma) + (\beta-\gamma)t =\alpha + \beta t + \gamma t^{2} =p(t).
Logo qualquer p\in\mathcal P_{2} está em W_{1}+W_{2}, ou seja W_{1}+W_{2}=\mathcal P_{2}.

Passo 3

Para mostrar que W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, seja p\in W_{1}\cap W_{2}. Então
p(t)=a(1+t+t^{2}) \quad\text{e}\quad p(t)=b + c\,t,
para certos a,b,c\in\mathbb R. Igualando coeficientes de t^{2} vem a=0. Substituindo de volta, obtemos p(t)=0 e portanto b=0, c=0. Assim a única interseção é o polinômio zero.

Resposta

Como W_{1}+W_{2}=\mathcal P_{2} e W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, concluímos que
\mathcal P_{2} = W_{1}\oplus W_{2}.

Exercícios relacionados