Verifique se
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
nos seguintes casos:
(iv)
e , para todo
(iv)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
.
Para verificar se é subespaço de
, precisamos checar três propriedades:
e o subconjunto
Para verificar se
- O polinômio zero pertence a
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos o polinômio zero:
o polinômio satisfaz
para todo
, logo
.
o polinômio
Passo 3
Fechamento na adição:
sejam e
em
, isto é,
e
para todo
.
Então
sejam
Então
para todo
, o que mostra que
.
Passo 4
Fechamento na multiplicação escalar:
seja e considere o escalar
.
Como , temos
seja
Como
para todo
.
Por exemplo, tomando , fica
, logo
.
Isso quebra a condição de subespaço.
Por exemplo, tomando
Isso quebra a condição de subespaço.