Verifique se é um subespaço vetorial do espaço vetorial nos seguintes casos:
(iv) e , para todo

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
;V = P3(R)
e o subconjunto
;S = ,pin P3(R) mid p(t)>= 0 para todo tinR.
Para verificar se S é subespaço de V, precisamos checar três propriedades:
  1. O polinômio zero pertence a S.
  2. S é fechado sob adição.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos o polinômio zero:
o polinômio p0(t)=0 satisfaz p0(t)=0>=0 para todo t, logo p0in S.

Passo 3

Fechamento na adição:
sejam p e q em S, isto é, p(t)>=0 e q(t)>=0 para todo t.
Então
(p+q)(t)=p(t)+q(t)>=0+0=0
para todo t, o que mostra que p+qin S.

Passo 4

Fechamento na multiplicação escalar:
seja pin S e considere o escalar alpha=-1.
Como p(t)>=0, temos
(alpha p)(t)=(-1)cdot p(t)<=0
para todo t.
Por exemplo, tomando p(t)equiv1, fica (alpha p)(t)=-1<0, logo alpha pnotin S.
Isso quebra a condição de subespaço.

Resposta

S não é subespaço vetorial de V.

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