Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(i) V=R^3 e S=(x, y, z) in R^3 mid x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = R^3 e S = (x,y,z)inR^3 mid x=0
formam um subespaço vetorial.
Conteúdo: teste de subespaço vetorial, que exige mostrar
  1. 0in S.
  2. fechamento de S sob soma.
  3. fechamento de S sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo 0=(0,0,0) está em S.
Como a primeira componente de 0 é 0, temos 0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam u=(0,y1,z1)in S e v=(0,y2,z2)in S.
Então
u+v = (0+0,;y1+y2,;z1+z2) = (0,;y1+y2,;z1+z2)
A primeira componente continua 0, logo u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja u=(0,y,z)in S e lambdainR.
Então
lambda,u = (lambdacdot 0,;lambda y,;lambda z) = (0,;lambda y,;lambda z)
De novo a primeira componente é 0, logo lambda,uin S.

Resposta

S é de fato um subespaço vetorial de R^3.

Exercícios relacionados