Ex. 2. Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolve equações diferenciais de grau zero (homogêneas) e usaremos a substituição
.
Passo 2
Para testar homogeneidade, note que a função
satisfaz
Logo,
é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazendo
implica
. Substituindo na equação:
Passo 4
Isolando
temos
e é uma equação separável.
Passo 5
Separamos variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por 2 e definindo
, obtemos
Passo 6
Voltando a
, ou seja
, ficamos com a solução implícita
Daí a solução explícita é
Resposta
A solução geral é