Ex. 2. Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
y^prime=x^2+y^2x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação y' = x^2 + y^2x y é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolve equações diferenciais de grau zero (homogêneas) e usaremos a substituição y = u x.

Passo 2

Para testar homogeneidade, note que a função f(x,y)=x^2+y^2xy satisfaz
f(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2)t^2xy=x^2+y^2xy=f(x,y)
Logo, f é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo y=u x implica y'=u + xdudx. Substituindo na equação:
u + xdudx=x^2+u^2x^2x,u x=1u+u

Passo 4

Isolando du/dx temos
xdudx=1uLongrightarrowdudx=1x,u
e é uma equação separável.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
u,du=dxx
Integrando ambos os lados:
u^22=ln|x|+C
Multiplicando por 2 e definindo C'=2C, obtemos
u^2=2ln|x|+C'

Passo 6

Voltando a y=ux, ou seja u=tfracyx, ficamos com a solução implícita
l(yxr)^2=2ln|x|+C'
Daí a solução explícita é
y=pm xraiz2ln|x|+C'

Resposta

A solução geral é
y=pm xraiz2ln|x|+C

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