Verifique a estabilidade do esquema de Crank-Nilson aplicado à equação de advecção unidimensional
onde é o número de Courant.
Exercício 9
Passo 1
O enunciado pede para verificar a estabilidade do esquema de Crank–Nicolson aplicado à equação de advecção unidimensional
onde . Vamos usar a análise de von Neumann: assumir um modo de Fourier, encontrar o fator de amplificação e verificar se .
Passo 2
Assumimos o modo de Fourier
Substituindo no esquema obtemos
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Passo 3
Usando a identidade
definimos . Então o numerador vira
e o denominador
ficando
Passo 4
O módulo de é
pois llvert1-ibetarrvert=llvert1+ibetarrvert. Isso mostra que o esquema não cresce nem decresce modos de Fourier.
Resposta
O esquema de Crank–Nicolson para advecção unidimensional é neutramente estável (lvert Grvert=1) e, portanto, estável para qualquer número de Courant C.