Verifique a estabilidade do esquema de Crank-Nilson aplicado à equação de advecção unidimensional
-0,25 C phij-1^n+1+phij^n+1+0,25 C phij+1^n+1=0,25 C phij-1^n+phij^n-0,25 C phij+1^n
onde C=u De<a t / De<a x é o número de Courant.
Exercício 9

Passo 1

O enunciado pede para verificar a estabilidade do esquema de Crank–Nicolson aplicado à equação de advecção unidimensional
-0,25,C,phij-1^n+1+phij^n+1+0,25,C,phij+1^n+1 =0,25,C,phij-1^n+phij^n-0,25,C,phij+1^n,
onde C=u,De<a t/De<a x. Vamos usar a análise de von Neumann: assumir um modo de Fourier, encontrar o fator de amplificação G e verificar se lvert Grvert<=1.

Passo 2

Assumimos o modo de Fourier
phij^n=G^ne^,i k jDe<a x
Substituindo no esquema obtemos
l(-0,25,C,e^-ikDe<a x+1+0,25,C,e^ikDe<a xr)G =0,25,C,e^-ikDe<a x+1-0,25,C,e^ikDe<a x
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G =1+0,25,Cl(e^-ikDe<a x-e^ikDe<a xr) 1-0,25,Cl(e^-ikDe<a x-e^ikDe<a xr)

Passo 3

Usando a identidade
e^itheta-e^-itheta=2isintheta,
definimos beta=0,5,Csin(kDe<a x). Então o numerador vira
1-,i,beta,
e o denominador
1+,i,beta,
ficando
G=1 - i,beta1 + i,beta

Passo 4

O módulo de G é
lvert Grvert =lvert1 - ibeta1 + ibetarvert =1,
pois llvert1-ibetarrvert=llvert1+ibetarrvert. Isso mostra que o esquema não cresce nem decresce modos de Fourier.

Resposta

O esquema de Crank–Nicolson para advecção unidimensional é neutramente estável ( lvert Grvert=1) e, portanto, estável para qualquer número de Courant C.

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