Verifique que é exata e resolva.
\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y=0, y>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy=0,\quad y>0,
e pede duas coisas: verificar que a equação é exata e resolver (achar a solução geral).
Das informações relevantes extraio as funções que multiplicam dx e dy:
M(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad N(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},
com domínio indicado pela condição y>0 (meio-plano superior, aberto e simplesmente conexo).

Passo 2

Explico o que significa verificar exatidão: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N. Um teste prático (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo \partial M/\partial y passo a passo. Com M(x,y)=-y\,(x^{2}+y^{2})^{-1},
\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}\!\big[(x^{2}+y^{2})^{-1}y\big] = -(x^{2}+y^{2})^{-1} + 2y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-2}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora \partial N/\partial x. Com N(x,y)=x\,(x^{2}+y^{2})^{-1},
\frac{\partial N}{\partial x}=(x^{2}+y^{2})^{-1}-2x^{2}(x^{2}+y^{2})^{-2} =\frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata no domínio y>0.

Passo 3

Como é exata, existe \psi(x,y) tal que
\psi_x(x,y)=M(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad \psi_y(x,y)=N(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Vou encontrar \psi integrando \psi_x em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx + h(y).
Para efetuar a integral uso a fórmula padrão
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\big(\frac{x}{a}\big),\qquad a>0,
aqui a=y>0 (o enunciado garante y>0). Então
\int \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx = -y\cdot\frac{1}{y}\arctan\!\big(\frac{x}{y}\big) = -\arctan\!\big(\frac{x}{y}\big).
Logo
\psi(x,y)=-\arctan\!\big(\frac{x}{y}\big)+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora imposto \psi_y=N. Calculo \psi_y usando a regra da cadeia para \arctan(x/y). Seja u(x,y)=x/y. Então
\frac{\partial}{\partial y}\arctan\!\big(\tfrac{x}{y}\big)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\big(-\frac{x}{y^{2}}\big).
Simplificando:
\frac{\partial}{\partial y}\arctan\!\big(\tfrac{x}{y}\big) =\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\big(-\frac{x}{y^{2}}\big)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\psi_y(x,y)= -\big(-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\big)+h'(y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+h'(y).
Como \psi_y deve ser igual a N(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, obtemos h'(y)=0. Assim h(y) é constante, digamos C.

Passo 5

Concluo que a potencial encontrada é
\psi(x,y)=-\arctan\!\big(\frac{x}{y}\big)+C,
e a solução implícita geral da equação diferencial é
-\arctan\!\big(\frac{x}{y}\big)=C\quad\text{ou}\quad \arctan\!\big(\frac{x}{y}\big)=C',
onde C' é outra constante arbitrária. Podemos reescrever de forma mais explícita: tomando a tangente de ambos os lados (e lembrando que y>0 evita ambiguidade no uso de \arctan),
\frac{x}{y}=\tan(C')\quad\Rightarrow\quad y=Kx,
onde K é uma constante real (dependente de C'). Ou seja, as soluções são retas passando pela origem.

Resposta

\arctan\!\big(\dfrac{x}{y}\big)=C'\n
y=Kx

Exercícios relacionados