Verifique que é exata e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: verificar que a equação é exata e resolver (achar a solução geral).
Das informações relevantes extraio as funções que multiplicam e
:
Das informações relevantes extraio as funções que multiplicam
com domínio indicado pela condição
(meio-plano superior, aberto e simplesmente conexo).
Passo 2
Explico o que significa verificar exatidão: uma equação
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Um teste prático (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Calculo
passo a passo. Com
,
Coloco tudo sobre o mesmo denominador:
Agora
. Com
,
Como
, a equação é exata no domínio
.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Vou encontrar
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Para efetuar a integral uso a fórmula padrão
aqui
(o enunciado garante
). Então
Logo
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora imposto
. Calculo
usando a regra da cadeia para
. Seja
. Então
Simplificando:
Portanto
Como
deve ser igual a
, obtemos
. Assim
é constante, digamos
.
Passo 5
Concluo que a potencial encontrada é
e a solução implícita geral da equação diferencial é
onde
é outra constante arbitrária. Podemos reescrever de forma mais explícita: tomando a tangente de ambos os lados (e lembrando que
evita ambiguidade no uso de
),
onde
é uma constante real (dependente de
). Ou seja, as soluções são retas passando pela origem.