Verifique se é exata e resolva:
(e^y+x y-1) d x+(x e^y+x^22) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente recebeu a equação diferencial:
(e^y + x y - 1) dx + (x e^y + x^22) dy = 0
O que a gente precisa fazer é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Pra isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Vamos identificar $ M $ e $ N $ na nossa equação:
  • $ M(x, y) = e^{y} + x y - 1 $
  • $ N(x, y) = x e^{y} + \frac{x^{2}}{2} $
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
M
y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, isso confirma que a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver ela encontrando uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Para encontrar $ F(x, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
dF = M dx + N dy
Onde $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Integrando $ M $:
F(x, y)
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
M
Igualando a $ N $:
x
Perceba que os termos $ e^{y} x $ e $ \frac{x^{2}}{2} $ se cancelam, sobrando:
F(x, y) = integral M dx + h(y)
Isso significa que $ h(y) $ é uma constante, que podemos chamar de $ C $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^y x + x^2 y2 - x = C

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