Verifique se é exata e resolva:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente recebeu a equação diferencial:
O que a gente precisa fazer é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Pra isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja:
Vamos identificar $ M $ e $ N $ na nossa equação:
- $ M(x, y) = e^{y} + x y - 1 $
- $ N(x, y) = x e^{y} + \frac{x^{2}}{2} $
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, isso confirma que a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver ela encontrando uma função $ F(x, y) $ tal que:
Para encontrar $ F(x, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
Onde $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Integrando $ M $:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
Igualando a $ N $:
Perceba que os termos $ e^{y} x $ e $ \frac{x^{2}}{2} $ se cancelam, sobrando:
Isso significa que $ h(y) $ é uma constante, que podemos chamar de $ C $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: