Para cada item a seguir, determine a lei de formação da função composta
e o conjunto de pontos em que ela é contínua:
e
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede duas coisas:
- Funções dadas:
-
. -
.
-
- Perguntas:
- Determinar a lei de formação da função composta
. - Determinar o conjunto de pontos em que
é contínua.
- Determinar a lei de formação da função composta
Além disso, as informações relevantes fornecidas são os fórmulas explícitas de
e
.
Passo 2
Encontrar os domínios individuais (importante para depois achar o domínio da composta).
- Para
o denominador não pode ser zero, então - Para
o denominador não pode ser zero, então
Passo 3
Lembrando a regra do domínio da composta: o domínio de
é o conjunto dos
tais que
e
. Em símbolos:
Passo 4
Calcular a expressão algébrica de
fazendo a substituição
em
.
Primeiro note que para variável genérica
Primeiro note que para variável genérica
Agora substitui
:
Calcule o quociente
: o inverso de
é
. Portanto
Passo 5
Verificar as restrições de domínio remanescentes (para não “esconder” pontos onde a composta não está definida apesar da simplificação algébrica).
Pedimos que , isto é
.
Além disso precisa-se ter , ou seja
. Mas
Pedimos que
Além disso precisa-se ter
nunca é zero para nenhum
real (uma fração com numerador
nunca é zero). Logo essa segunda restrição não exclui mais pontos. Portanto
Na prática a expressão simplificada
vale para todo
.
Passo 6
Analisar a continuidade de
.
- Observação teórica breve e útil na prova: funções racionais (razão de polinômios) são contínuas em todo ponto de seu domínio (ou seja, contíguas enquanto o denominador não for zero).
-
é racional e contínua em . -
é racional e contínua em . - Pelo teorema da composição de funções contínuas, se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em . Aqui, para qualquer temos bem definido e , então é contínua em . Logo é contínua em todo . - Alternativamente, visto que
para e a função identidade é contínua em todo ponto real, concluímos também que é contínua em todo ponto do domínio .
Passo 7
Resumo lógico das conclusões que serão usadas na resposta final:
- Lei algébrica:
para . - Domínio e continuidade:
está definida e é contínua em todo ponto de .