Para cada item a seguir, determine a lei de formação da função composta (f \circ g)(x) e o conjunto de pontos em que ela é contínua:
f(x)=\frac{x+1}{x} e g(x)=\frac{1}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede duas coisas:
  • Funções dadas:
    • f(x)=\dfrac{x+1}{x}.
    • g(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • Perguntas:
    1. Determinar a lei de formação da função composta (f\circ g)(x).
    2. Determinar o conjunto de pontos em que (f\circ g) é contínua.
Além disso, as informações relevantes fornecidas são os fórmulas explícitas de f e g.

Passo 2

Encontrar os domínios individuais (importante para depois achar o domínio da composta).
  • Para f(x)=\dfrac{x+1}{x} o denominador não pode ser zero, então \text{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
  • Para g(x)=\dfrac{1}{x-1} o denominador não pode ser zero, então \text{dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1\}.

Passo 3

Lembrando a regra do domínio da composta: o domínio de (f\circ g) é o conjunto dos x tais que x\in\text{dom}(g) e g(x)\in\text{dom}(f). Em símbolos:
\text{dom}(f\circ g)=\{x\in\text{dom}(g)\mid g(x)\in\text{dom}(f)\}.

Passo 4

Calcular a expressão algébrica de (f\circ g)(x) fazendo a substituição u=g(x) em f(u).
Primeiro note que para variável genérica u
f(u)=\frac{u+1}{u}=1+\frac{1}{u}.
Agora substitui u=g(x)=\dfrac{1}{x-1}:
(f\circ g)(x)=1+\frac{1}{\dfrac{1}{x-1}}.
Calcule o quociente \dfrac{1}{\tfrac{1}{x-1}}: o inverso de \dfrac{1}{x-1} é x-1. Portanto
(f\circ g)(x)=1+(x-1)=x.

Passo 5

Verificar as restrições de domínio remanescentes (para não “esconder” pontos onde a composta não está definida apesar da simplificação algébrica).
Pedimos que x\in\text{dom}(g), isto é x\neq1.
Além disso precisa-se ter g(x)\in\text{dom}(f), ou seja g(x)\neq0. Mas
g(x)=\frac{1}{x-1}
nunca é zero para nenhum x real (uma fração com numerador 1 nunca é zero). Logo essa segunda restrição não exclui mais pontos. Portanto
\text{dom}(f\circ g)=\text{dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1\}.
Na prática a expressão simplificada (f\circ g)(x)=x vale para todo x\neq1.

Passo 6

Analisar a continuidade de (f\circ g).
  • Observação teórica breve e útil na prova: funções racionais (razão de polinômios) são contínuas em todo ponto de seu domínio (ou seja, contíguas enquanto o denominador não for zero).
  • g é racional e contínua em \text{dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • f é racional e contínua em \text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Pelo teorema da composição de funções contínuas, se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f\circ g é contínua em a. Aqui, para qualquer a\in\mathbb{R}\setminus\{1\} temos g(a) bem definido e g(a)\neq0, então f é contínua em g(a). Logo f\circ g é contínua em todo a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Alternativamente, visto que (f\circ g)(x)=x para x\neq1 e a função identidade x\mapsto x é contínua em todo ponto real, concluímos também que (f\circ g) é contínua em todo ponto do domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 7

Resumo lógico das conclusões que serão usadas na resposta final:
  • Lei algébrica: (f\circ g)(x)=x para x\neq1.
  • Domínio e continuidade: (f\circ g) está definida e é contínua em todo ponto de (-\infty,1)\cup(1,\infty).

Resposta

(f\circ g)(x)=x para x\neq1.
(f\circ g) é contínua em (-\infty,1)\cup(1,\infty).

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