Verifique se existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y}{2 x^{6}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}}.
Estamos em funções de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos: se o limite for diferente ao longo de curvas distintas que se aproximam de (0,0), então ele não existe.

Passo 2

Analise pelo caminho y=0. Substituindo em
f(x,y)=\frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}}
temos
f(x,0)=\frac{x^{3}\cdot0}{2x^{6}+0}=0.
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\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 3

Agora use o caminho y=m\,x^{3}, com m\in\mathbb{R}. Substituindo em f:
f\bigl(x,mx^{3}\bigr) =\frac{x^{3}\,(m x^{3})}{2x^{6}+(m x^{3})^{2}} =\frac{m\,x^{6}}{2x^{6}+m^{2}x^{6}} =\frac{m\,x^{6}}{x^{6}(2+m^{2})} =\frac{m}{2+m^{2}}.
Esse resultado é constante em x e depende de m.

Passo 4

Como para m=0 obtemos 0 e, por exemplo, para m=1 obtemos 1/3, o valor do limite muda conforme o caminho. Portanto, o limite não é único.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} não existe.

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