Exercício 4: Dado o vetor posição \vec{r}=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z}. Mostre que \vec{\nabla} r=\hat{r}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\displaystyle \nabla r = \hat r,
onde \vec r = x\hat x + y\hat y + z\hat z e
\displaystyle r = \|\vec r\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
O conteúdo é cálculo de gradiente de uma função escalar em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o operador gradiente é
\nabla = \hat x\,\frac{\partial}{\partial x} + \hat y\,\frac{\partial}{\partial y} + \hat z\,\frac{\partial}{\partial z}.
Vamos aplicá-lo à função r = (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{r},
e, de forma análoga,
\displaystyle \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}
e
\displaystyle \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}.
Portanto
\nabla r = \hat x\,\frac{x}{r} + \hat y\,\frac{y}{r} + \hat z\,\frac{z}{r} = \frac{x\hat x + y\hat y + z\hat z}{r} = \hat r.

Resposta

\displaystyle \nabla r = \hat r.

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