Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) x e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis: f(x,y)=x,e^-1/(x^2+y^2) quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite em R^2 e vamos precisar de coordenadas polares e do teorema do confronto.

Passo 2

Para simplificar, introduzimos coordenadas polares. Sejam
x = rcostheta, y = rsintheta,
o que implica r =raizx^2+y^2. Assim
f(x,y) = x,e^-1/(x^2+y^2) = rcostheta;e^-1/r^2

Passo 3

Vamos usar o valor absoluto e comparar com uma função que vá a zero. Observamos que
|f(x,y)| = |rcostheta;e^-1/r^2| <= r,e^-1/r^2,
pois |costheta|<=1.

Passo 4

Sabemos que e^-1/r^2 decai mais rápido que qualquer potência de r. Em particular,
limrto0^+ r,e^-1/r^2 = 0
Pelo teorema do confronto, segue que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados