Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse problema faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar analisar se o limite existe quando se aproxima de e, se existir, calcular o valor desse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, para limites de funções de duas variáveis, precisamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto . Se encontrarmos diferentes valores ao se aproximar por caminhos distintos, o limite não existe.
Passo 3
Vamos tentar nos aproximar de ao longo de diferentes caminhos. Um caminho simples é manter uma das variáveis igual a zero.
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é 0.
Passo 4
Vamos tentar outro caminho.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Neste caso, também obtemos o limite 0 ao nos aproximarmos pelo caminho .
Passo 5
Agora, vamos testar um caminho mais interessante, onde depende de .
Caminho 3:, onde é uma constante.
Substituindo na função:
Quando , esse valor também tende a 0.
Passo 6
Para ter certeza, vamos tentar um caminho ainda diferente.
Caminho 4:
Substituindo na função:
Quando , esse valor também tende a 0.
Passo 7
Até agora, todos os caminhos que testamos deram limite 0. Mas precisamos garantir que isso é verdade para qualquer caminho.
Vamos considerar a abordagem geral usando desigualdade para mostrar que o limite é 0.
Observe que:
Para , tanto quanto tendem a 0, e podemos mostrar que a expressão acima tende a 0.