Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y
Esse problema faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar analisar se o limite existe quando se aproxima de e, se existir, calcular o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, para limites de funções de duas variáveis, precisamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto . Se encontrarmos diferentes valores ao se aproximar por caminhos distintos, o limite não existe.

Passo 3

Vamos tentar nos aproximar de 0 cdot y0^2 + y = 0y = 0 ao longo de diferentes caminhos. Um caminho simples é manter uma das variáveis igual a zero.
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é 0.

Passo 4

Vamos tentar outro caminho.
Caminho 2: x cdot 0x^2 + 0 = 0x^2 = 0
Substituindo na função:
Neste caso, também obtemos o limite 0 ao nos aproximarmos pelo caminho .

Passo 5

Agora, vamos testar um caminho mais interessante, onde x cdot kx^2x^2 + kx^2 = kx^3x^2(1 + k)) = kx1 + k depende de .
Caminho 3: , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Quando , esse valor também tende a 0.

Passo 6

Para ter certeza, vamos tentar um caminho ainda diferente.
Caminho 4: x cdot xx^2 + x = x^2x^2 + x = x1 + x
Substituindo na função:
Quando , esse valor também tende a 0.

Passo 7

Até agora, todos os caminhos que testamos deram limite 0. Mas precisamos garantir que isso é verdade para qualquer caminho.
Vamos considerar a abordagem geral usando desigualdade para mostrar que o limite é 0.
Observe que:
| x yx^2 + y | <= |x||y||x^2| = |y||x|
Para , tanto quanto tendem a 0, e podemos mostrar que a expressão acima tende a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y = 0

Exercícios relacionados