Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
Passo 1
A questão pede o valor do limite
O conteúdo é limite de função de duas variáveis, mas note que a expressão depende apenas de
. Para resolver, vamos usar substituição e um limite conhecido de função de uma variável.
Passo 2
Definimos a nova variável
Quando
, temos
. Assim, a expressão do limite fica
Passo 3
Agora precisamos calcular o limite de uma única variável:
Esse é um limite padrão, que pode ser mostrado pelo desenvolvimento em série de Taylor de
ou pela regra de L’Hôpital.
Passo 4
Usando o desenvolvimento em série de Taylor em torno de
:
Dividindo por
, obtemos
Quando
, o termo
tende a zero, restando 1.
Passo 5
Portanto, o limite existe e vale 1.
Resposta
1