Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) ln (x^3+y^3+1)x^3+y^3

Passo 1

A questão pede o valor do limite
u=x^3+y^3
O conteúdo é limite de função de duas variáveis, mas note que a expressão depende apenas de . Para resolver, vamos usar substituição e um limite conhecido de função de uma variável.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = x^3 + y^3
Quando (x,y)to(0,0), temos nuto 0. Assim, a expressão do limite fica
lnl(x^3+y^3+1r)x^3+y^3 = ln(1+nu)nu

Passo 3

Agora precisamos calcular o limite de uma única variável:
limnuto 0 ln(1+nu)nu
Esse é um limite padrão, que pode ser mostrado pelo desenvolvimento em série de Taylor de ln(1+nu) ou pela regra de L’Hôpital.

Passo 4

Usando o desenvolvimento em série de Taylor em torno de nu=0:
ln(1+nu) = nu - nu^22 + o(nu^2)
Dividindo por nu, obtemos
ln(1+nu)nu = 1 - nu2 + o(nu)
Quando nuto 0, o termo -tfracnu2+o(nu) tende a zero, restando 1.

Passo 5

Portanto, o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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