Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) sen(x)x y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa verificar se o limite
existe, e se existir, calcular esse limite. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função conforme lim (x, y) (0,0) sen(x)x y se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Sabemos que (seno de sen(x)x y ) pode ser aproximado por limx to 0 sen(x)x = 1 quando xx y = 1y está próximo de 0, ou seja:
Então, perto de , podemos aproximar por , o que simplifica nossa função para aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa aproximação conforme se aproxima de 0. Se tende a 0, cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Isso sugere que o limite original pode não existir porque a função fica sem limites ao se aproximar de .

Passo 4

Para confirmar se o limite realmente não existe, vamos testar diferentes caminhos de aproximação para sen(x)x y = sen(x)x (k x) = sen(x)k x^2 approx xk x^2 = 1k x :
  1. Caminho onde sen(0)0 cdot y = 00 (indeterminado) (linha com inclinação ):
    Conforme , tende ao infinito.
  2. Caminho onde :
    Isso já indica problemas na existência do limite.
Como em diferentes caminhos o limite tende a comportamentos diferentes (como infinito), concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite
não existe.

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