Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa verificar se o limite
existe, e se existir, calcular esse limite. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Sabemos que (seno de
) pode ser aproximado por
quando
está próximo de 0, ou seja:
Então, perto de
, podemos aproximar por
, o que simplifica nossa função para aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa aproximação
conforme
se aproxima de 0. Se
tende a 0,
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Isso sugere que o limite original pode não existir porque a função fica sem limites ao se aproximar de
.
Passo 4
Para confirmar se o limite realmente não existe, vamos testar diferentes caminhos de aproximação para
:
-
Caminho onde
(linha com inclinação ): Conforme, tende ao infinito. -
Caminho onde
: Isso já indica problemas na existência do limite.
Como em diferentes caminhos o limite tende a comportamentos diferentes (como infinito), concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.