Determine zx e zy.
z=integralx^2^y^2 e^-t^2 d t;

Passo 1

Enunciado resumido: Temos a função
z é definida pela integral com limite inferior dependente de x e limite superior dependente de y:
z=integralx^2^y^2 e^-t^2,dt
O conteúdo aqui é derivada de integral com limites variáveis, e vamos precisar usar a regra de Leibniz.

Passo 2

Regra de Leibniz: Para uma integral
I(x)=integrala(x)^b(x) f(t),dt
vale
I'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Cálculo de z_x: Aqui b(x)=y^2, que não depende de x, e a(x)=x^2. Logo:
  • b’(x)=0
  • a’(x)=2x
  • f(t)=e{-t2}⇒f(a(x))=e{-(x2)2}=e{-x^4}
Aplicando a regra:
partial zpartial x=e^-l(y^2r)^2cdot0 - e^-l(x^2r)^2cdot2x = -2x,e^-x^4

Passo 4

Cálculo de z_y: Agora a(y)=x^2 (não depende de y) e b(y)=y^2. Logo:
  • a’(y)=0
  • b’(y)=2y
  • f(b(y))=e{-(y2)2}=e{-y^4}
Aplicando a regra:
partial zpartial y=e^-l(y^2r)^2cdot2y - e^-l(x^2r)^2cdot0 = 2y,e^-y^4

Resposta

zx=-2x,e^-x^4, zy=2y,e^-y^4

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