Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
Quanto mais alto o valor de \sigma^{2} (variância da FRP) maior a variância de \hat{\beta}_{2}. Em que, \sigma^{2} e \hat{\beta}_{2}, foram obtidos a partir da Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar (com explicação minuciosa) se a afirmação abaixo é verdadeira, falsa ou duvidosa:
“Quanto mais alto o valor de \sigma^{2} (variância da FRP) maior a variância de \hat{\beta}_{2}. Em que, \sigma^{2} e \hat{\beta}_{2}, foram obtidos a partir da Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}.”
Informações e hipóteses explícitas que temos do enunciado:
O modelo dado é \;Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}\; para i=1,\dots,n.
Foi mencionada uma quantidade \sigma^{2} chamada “variância da FRP” — vou interpretar isso como a variância do termo de erro, ou seja \sigma^{2}=\operatorname{Var}(u_{i}) sob homocedasticidade (se essa interpretação estiver errada o enunciado ficaria ambíguo).
\hat{\beta}_{2} é o estimador OLS da inclinação \beta_{2}.
A tarefa: decidir se a relação "maior \sigma^{2} implica maior \operatorname{Var}(\hat\beta_{2})" é verdadeira, falsa ou duvidosa, e explicar minuciosamente.
Passo 2
Vou escrever a fórmula do estimador OLS para \hat{\beta}_{2}. A definição (fórmula padrão) do estimador de inclinação em regressão linear simples é:
\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} é a média amostral de X.
\bar{Y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i} é a média amostral de Y.
O numerador mede a covariância amostral entre X e Y; o denominador é a soma dos quadrados dos desvios de X em relação à média (costuma-se chamar de S_{xx}=\sum (X_i-\bar X)^2).
Passo 3
Substituo Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i} dentro da fórmula de \hat{\beta}_{2} para expressá-lo em função dos erros u_{i}. Fazendo as contas padrão (mostrando passo a passo):
Primeiro, note que \bar{Y}=\beta_{1}+\beta_{2}\bar{X}+\bar{u} onde \bar{u}=\dfrac{1}{n}\sum_{i}u_{i}. Então
Ambas as formas ilustram que o termo aleatório que determina a variabilidade de \hat\beta_2 é uma combinação linear dos u_i.
Passo 4
Agora calculo a variância de \hat{\beta}_{2}. Vou trabalhar na variância condicional em relação a X (isto é, supondo os X_i fixos — procedimento padrão em regressão): \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}\mid X).
Portanto, sob as hipóteses usadas, a variância do estimador \hat{\beta}_{2} é diretamente proporcional a \sigma^{2} e inversamente proporcional à dispersão de X medida por S_{xx}.
Interpretação direta: se S_{xx} é fixo (os X_i dados), então aumentar \sigma^{2} faz crescer \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}) linearmente — por exemplo, dobrar \sigma^{2} dobra \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}).
Passo 7
Dou um exemplo numérico simples para fixar a intuição:
Suponha S_{xx}=10.
Se \sigma^{2}=4 então \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2})=\dfrac{4}{10}=0{,}4.
Se a variância do erro dobrar para \sigma^{2}=8, então \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2})=\dfrac{8}{10}=0{,}8.
Logo, com S_{xx} igual, maior \sigma^{2} → maior variância do estimador.
Passo 8
Agora discuto as condições em que a afirmação pode deixar de ser válida (por que ela pode ser duvidosa em cenários não clássicos):
Se a homocedasticidade não vale (isto é, \operatorname{Var}(u_{i}) difere entre observações), então não existe um único número \sigma^{2} que descreva todas as variâncias dos u_i. Nesse caso, a fórmula \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2})=\sigma^{2}/S_{xx} não é válida. A variância de \hat\beta_2 passa a ser
o que torna a relação entre uma “média” de variâncias dos u_i e \operatorname{Var}(\hat\beta_2) menos direta. Assim, sem homocedasticidade, a afirmação original fica duvidosa/condicional.
Se os erros são correlacionados entre si (\operatorname{Cov}(u_i,u_j)\neq 0), novamente a expressão muda e a proporcionalidade simples com um único \sigma^{2} deixa de existir.
Se por “variância da FRP” o enunciado quis dizer outra coisa (por exemplo variância condicional de Y ou algo diferente de \operatorname{Var}(u_i)), pode haver ambiguidade e então a afirmação fica mal definida.
Se os X_i não forem considerados fixos mas variáveis, a expressão acima continua valendo condicionalmente a X; marginalmente (não condicionando em X) a relação pode depender da distribuição de X. Contudo, a ideia qualitativa — maior variância dos erros aumenta a variabilidade do estimador — permanece.
Passo 9
Resumo didático e conselho para a prova (como escrever e justificar a resposta em uma avaliação):
Declare claramente as hipóteses: “assumindo o modelo clássico com \mathbb{E}[u_i\mid X]=0, \operatorname{Var}(u_i\mid X)=\sigma^{2} e \operatorname{Cov}(u_i,u_j\mid X)=0”.
Conclua: sob essas hipóteses, Var(\hat\beta_2) é proporcional a \sigma^{2}; portanto, quanto maior \sigma^{2}, maior Var(\hat\beta_2). Em seguida, mencione que se homocedasticidade ou ausência de correlação falharem, a conclusão precisa ser revista (explique brevemente como muda a fórmula).
Resposta
Verdadeira, desde que se assumam as hipóteses clássicas (erro com \mathbb{E}[u_i\mid X]=0, homocedasticidade \operatorname{Var}(u_i\mid X)=\sigma^{2} e não correlação entre erros): \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}\mid X)=\dfrac{\sigma^{2}}{\sum_{i}(X_{i}-\bar X)^{2}}. Se as hipóteses (especialmente homocedasticidade) falharem, a afirmação fica duvidosa.