Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
Quanto mais alto o valor de \sigma^{2} (variância da FRP) maior a variância de \hat{\beta}_{2}. Em que, \sigma^{2} e \hat{\beta}_{2}, foram obtidos a partir da Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar (com explicação minuciosa) se a afirmação abaixo é verdadeira, falsa ou duvidosa:
“Quanto mais alto o valor de \sigma^{2} (variância da FRP) maior a variância de \hat{\beta}_{2}. Em que, \sigma^{2} e \hat{\beta}_{2}, foram obtidos a partir da Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}.”
Informações e hipóteses explícitas que temos do enunciado:
  • O modelo dado é \;Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}\; para i=1,\dots,n.
  • Foi mencionada uma quantidade \sigma^{2} chamada “variância da FRP” — vou interpretar isso como a variância do termo de erro, ou seja \sigma^{2}=\operatorname{Var}(u_{i}) sob homocedasticidade (se essa interpretação estiver errada o enunciado ficaria ambíguo).
  • \hat{\beta}_{2} é o estimador OLS da inclinação \beta_{2}.
  • A tarefa: decidir se a relação "maior \sigma^{2} implica maior \operatorname{Var}(\hat\beta_{2})" é verdadeira, falsa ou duvidosa, e explicar minuciosamente.

Passo 2

Vou escrever a fórmula do estimador OLS para \hat{\beta}_{2}. A definição (fórmula padrão) do estimador de inclinação em regressão linear simples é:
\hat{\beta}_{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})} {\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}}.
Explicando as notações:
  • \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} é a média amostral de X.
  • \bar{Y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i} é a média amostral de Y.
  • O numerador mede a covariância amostral entre X e Y; o denominador é a soma dos quadrados dos desvios de X em relação à média (costuma-se chamar de S_{xx}=\sum (X_i-\bar X)^2).

Passo 3

Substituo Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i} dentro da fórmula de \hat{\beta}_{2} para expressá-lo em função dos erros u_{i}. Fazendo as contas padrão (mostrando passo a passo):
Primeiro, note que \bar{Y}=\beta_{1}+\beta_{2}\bar{X}+\bar{u} onde \bar{u}=\dfrac{1}{n}\sum_{i}u_{i}. Então
Y_{i}-\bar{Y}=(\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i})-(\beta_{1}+\beta_{2}\bar{X}+\bar{u}) =\beta_{2}(X_{i}-\bar{X})+(u_{i}-\bar{u}).
Substituindo no numerador:
\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y}) =\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})\big[\beta_{2}(X_{i}-\bar{X})+(u_{i}-\bar{u})\big].
Distribuindo a soma:
\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y}) =\beta_{2}\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2}+\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})(u_{i}-\bar{u}).
Portanto
\hat{\beta}_{2} = \beta_{2} + \frac{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})(u_{i}-\bar{u})}{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2}}.
Uma forma equivalente, mais usada para obter a variância, é (quando se admite \sum (X_i-\bar X)\bar u = 0 por simetria)
\hat{\beta}_{2} = \beta_{2} + \frac{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})u_{i}}{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2}}.
Ambas as formas ilustram que o termo aleatório que determina a variabilidade de \hat\beta_2 é uma combinação linear dos u_i.

Passo 4

Agora calculo a variância de \hat{\beta}_{2}. Vou trabalhar na variância condicional em relação a X (isto é, supondo os X_i fixos — procedimento padrão em regressão): \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}\mid X).
Usando a forma
\hat{\beta}_{2} = \beta_{2} + \frac{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})u_{i}}{S_{xx}}, \qquad\text{onde}\quad S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2},
temos
\operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}\mid X) = \operatorname{Var}\!\left(\frac{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})u_{i}}{S_{xx}}\;\Bigg|\;X\right) = \frac{1}{S_{xx}^{2}} \operatorname{Var}\!\left(\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})u_{i}\;\Bigg|\;X\right).

Passo 5

Para avançar, uso a hipótese clássica de homocedasticidade e ausência de correlação serial entre erros:
  • \mathbb{E}[u_{i}\mid X]=0 para todo i;
  • \operatorname{Var}(u_{i}\mid X)=\sigma^{2} constante (homocedasticidade);
  • \operatorname{Cov}(u_{i},u_{j}\mid X)=0 para i\neq j.
Com essas hipóteses, a variância da soma linear é
\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})u_{i}\mid X\right) = \sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2}\operatorname{Var}(u_{i}\mid X) = \sigma^{2}\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2} = \sigma^{2}S_{xx}.

Passo 6

Substituindo na expressão do Passo 4:
\operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}\mid X) = \frac{1}{S_{xx}^{2}}\cdot\big(\sigma^{2}S_{xx}\big) = \frac{\sigma^{2}}{S_{xx}}.
Portanto, sob as hipóteses usadas, a variância do estimador \hat{\beta}_{2} é diretamente proporcional a \sigma^{2} e inversamente proporcional à dispersão de X medida por S_{xx}.
Interpretação direta: se S_{xx} é fixo (os X_i dados), então aumentar \sigma^{2} faz crescer \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}) linearmente — por exemplo, dobrar \sigma^{2} dobra \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}).

Passo 7

Dou um exemplo numérico simples para fixar a intuição:
  • Suponha S_{xx}=10.
  • Se \sigma^{2}=4 então \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2})=\dfrac{4}{10}=0{,}4.
  • Se a variância do erro dobrar para \sigma^{2}=8, então \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2})=\dfrac{8}{10}=0{,}8.
    Logo, com S_{xx} igual, maior \sigma^{2} → maior variância do estimador.

Passo 8

Agora discuto as condições em que a afirmação pode deixar de ser válida (por que ela pode ser duvidosa em cenários não clássicos):
  • Se a homocedasticidade não vale (isto é, \operatorname{Var}(u_{i}) difere entre observações), então não existe um único número \sigma^{2} que descreva todas as variâncias dos u_i. Nesse caso, a fórmula \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2})=\sigma^{2}/S_{xx} não é válida. A variância de \hat\beta_2 passa a ser
\operatorname{Var}(\hat\beta_2\mid X)=\frac{\sum_{i}(X_i-\bar X)^2\operatorname{Var}(u_i\mid X)}{S_{xx}^2},
o que torna a relação entre uma “média” de variâncias dos u_i e \operatorname{Var}(\hat\beta_2) menos direta. Assim, sem homocedasticidade, a afirmação original fica duvidosa/condicional.
  • Se os erros são correlacionados entre si ( \operatorname{Cov}(u_i,u_j)\neq 0), novamente a expressão muda e a proporcionalidade simples com um único \sigma^{2} deixa de existir.
  • Se por “variância da FRP” o enunciado quis dizer outra coisa (por exemplo variância condicional de Y ou algo diferente de \operatorname{Var}(u_i)), pode haver ambiguidade e então a afirmação fica mal definida.
  • Se os X_i não forem considerados fixos mas variáveis, a expressão acima continua valendo condicionalmente a X; marginalmente (não condicionando em X) a relação pode depender da distribuição de X. Contudo, a ideia qualitativa — maior variância dos erros aumenta a variabilidade do estimador — permanece.

Passo 9

Resumo didático e conselho para a prova (como escrever e justificar a resposta em uma avaliação):
  • Declare claramente as hipóteses: “assumindo o modelo clássico com \mathbb{E}[u_i\mid X]=0, \operatorname{Var}(u_i\mid X)=\sigma^{2} e \operatorname{Cov}(u_i,u_j\mid X)=0”.
  • Mostre a derivação curta:
\hat{\beta}_2=\beta_2+\frac{\sum (X_i-\bar X)u_i}{S_{xx}} \quad\Rightarrow\quad \operatorname{Var}(\hat{\beta}_2\mid X)=\frac{\sigma^2}{S_{xx}}.
  • Conclua: sob essas hipóteses, Var (\hat\beta_2) é proporcional a \sigma^{2}; portanto, quanto maior \sigma^{2}, maior Var (\hat\beta_2). Em seguida, mencione que se homocedasticidade ou ausência de correlação falharem, a conclusão precisa ser revista (explique brevemente como muda a fórmula).

Resposta

Verdadeira, desde que se assumam as hipóteses clássicas (erro com \mathbb{E}[u_i\mid X]=0, homocedasticidade \operatorname{Var}(u_i\mid X)=\sigma^{2} e não correlação entre erros): \operatorname{Var}(\hat{\beta}_{2}\mid X)=\dfrac{\sigma^{2}}{\sum_{i}(X_{i}-\bar X)^{2}}. Se as hipóteses (especialmente homocedasticidade) falharem, a afirmação fica duvidosa.

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