Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
Na FRP de duas variáveis, se o coeficiente angular \beta_{2} é zero, o intercepto \beta_{1} é estimado pela média amostral Y

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira, falsa ou duvidosa e explicar por quê.
Afirmação a avaliar: “Na FRP de duas variáveis, se o coeficiente angular \beta_{2} é zero, o intercepto \beta_{1} é estimado pela média amostral Y.”
Informações dadas/implicadas pelo enunciado:
  • Há um modelo de regressão linear de duas variáveis (variável dependente Y e regressor X).
  • Foi mencionada a quantidade \beta_{2} (o coeficiente angular verdadeiro do modelo) e a afirmação relaciona isso com a forma como o intercepto \beta_{1} é estimado pela amostra.

Passo 2

Escrevendo o modelo e definindo notação (para ficar tudo claro):
Y_i = \beta_{1} + \beta_{2} X_i + \varepsilon_i,\quad i=1,\dots,n,
onde:
  • \beta_{1} é o intercepto (parâmetro verdadeiro);
  • \beta_{2} é o coeficiente angular (parâmetro verdadeiro);
  • X_i são os valores observados do regressor;
  • Y_i são as observações da resposta;
  • \varepsilon_i são os erros com E[\varepsilon_i]=0 e variância finita (pressupostos padrão).
O que significa "estimado pela média amostral Y"? Interpreto que a afirmação diz que o estimador de \beta_{1} (denotado por \hat\beta_{1}) seria igual à média amostral \bar Y, isto é:
\hat\beta_{1} = \bar Y \quad\text{(afirmação equivalente)}.çã

Passo 3

Lembrando como os estimadores de mínimos quadrados ordinários (MQO) são calculados (é importante para entender a relação entre \hat\beta_1, \hat\beta_2 e \bar Y).
As equações normais conduzem a:
\hat\beta_{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2},
\hat\beta_{1}=\bar Y-\hat\beta_{2}\,\bar X,
onde \bar X e \bar Y são as médias amostrais de X e Y, respectivamente.
Explicação didática: a segunda fórmula sai da primeira equação normal (a soma dos resíduos é zero), que implica que o estimador do intercepto é sempre a média das Y ajustada pela contribuição da inclinação multiplicada pela média de X. Portanto, em MQO:
  • se \hat\beta_{2}=0 então, imediatamente, \hat\beta_{1}=\bar Y;
  • mas se \hat\beta_{2}\neq 0 então \hat\beta_{1}\neq\bar Y em geral.

Passo 4

Agora a diferença crucial: parâmetro verdadeiro \beta_{2} versus estimador \hat\beta_{2}.
  • A afirmação usa \beta_{2} (o verdadeiro coeficiente populacional) e conclui algo sobre o estimador \hat\beta_{1}.
  • Mesmo se o verdadeiro parâmetro for \beta_{2}=0, o estimador \hat\beta_{2} calculado a partir dos dados não será necessariamente igual a zero em uma amostra finita — ele é uma variável aleatória com esperança E[\hat\beta_{2}]=\beta_{2} sob hipóteses padrão (ou seja, é um estimador não viciado). Então, quando \beta_{2}=0 tem-se E[\hat\beta_{2}]=0, mas tipicamente \hat\beta_{2} será diferente de zero numa amostra concreta.
Consequência prática: se \beta_{2}=0 (verdade verdadeira do mundo), não há garantia de que o ajuste por MQO produz \hat\beta_{2}=0; por isso não há garantia de que \hat\beta_{1}=\bar Y. Logo, a afirmação tal como está (ligando \beta_{2}=0 diretamente a \hat\beta_{1}=\bar Y) é incorreta.

Passo 5

Exemplo numérico simples que mostra a falsidade em amostra concreta (para fixar a intuição).
Considere n=2, X=[0,1] e suponha que as observações Y sejam Y=[6,4]. Então:
\bar X = \frac{0+1}{2} = \tfrac{1}{2},\qquad \bar Y = \frac{6+4}{2}=5.
Calcule \hat\beta_{2}:
\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y) = (0-\tfrac{1}{2})(6-5)+(1-\tfrac{1}{2})(4-5) = -\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=-1,
\sum (X_i-\bar X)^2 = (\tfrac{1}{2})^2+(\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{2},
\hat\beta_{2} = \frac{-1}{1/2} = -2.
Então
\hat\beta_{1}=\bar Y - \hat\beta_{2}\bar X = 5 - (-2)\cdot \tfrac{1}{2} = 6,
que claramente não é igual a \bar Y=5.
Neste exemplo pode-se imaginar que o verdadeiro modelo tenha \beta_{2}=0 (por construção teórica), mas a amostra que vemos gerou \hat\beta_{2}=-2 e \hat\beta_{1}=6\neq\bar Y. Portanto a afirmação falha em amostras finitas.

Passo 6

Casos em que a afirmação seria verdadeira (para não deixar dúvida):
  • Se o procedimento de estimação for feito impondo explicitamente \beta_{2}=0 (ou seja, se o modelo estimado for apenas Y_i=\beta_1+\varepsilon_i, sem incluir X como regressor), então o estimador de \beta_1 é de fato \bar Y.
  • Se, ao estimar o modelo completo por MQO, a amostra particular produzir \hat\beta_{2}=0 exatamente (situação rara, mas possível), daí segue \hat\beta_{1}=\bar Y.
  • Em termos assintóticos: se o verdadeiro \beta_{2}=0, então \hat\beta_{2} converge em probabilidade para 0 quando n\to\infty, e assim \hat\beta_{1}-\bar Y = -\hat\beta_{2}\bar X converge em probabilidade para 0. Isso quer dizer que para amostras muito grandes \hat\beta_{1} ficará próximo de \bar Y, mas não exatamente igual em amostras finitas.

Passo 7

Conclusão interpretativa (resumo amigável): a afirmação interpretada literalmente como "se \beta_{2}=0 então o estimador \hat\beta_{1} é igual a \bar Y" é falsa. O motivo é a diferença entre o parâmetro verdadeiro ( \beta_{2}) e o estimador calculado na amostra ( \hat\beta_{2}). Só quando \hat\beta_{2}=0 (caso de modelo restringido ou amostra especial) ocorre \hat\beta_{1}=\bar Y; quando apenas \beta_{2}=0 no mundo real, \hat\beta_{1} não precisa ser igual a \bar Y.
Força aí — é fácil confundir parâmetro com estimador; a diferença é a chave.

Resposta

Falsa

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