Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
Na FRP de duas variáveis, se o coeficiente angular
é zero, o intercepto
é estimado pela média amostral Y
Na FRP de duas variáveis, se o coeficiente angular
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira, falsa ou duvidosa e explicar por quê.
Afirmação a avaliar: “Na FRP de duas variáveis, se o coeficiente angular
é zero, o intercepto
é estimado pela média amostral
.”
Informações dadas/implicadas pelo enunciado:
- Há um modelo de regressão linear de duas variáveis (variável dependente
e regressor ). - Foi mencionada a quantidade
(o coeficiente angular verdadeiro do modelo) e a afirmação relaciona isso com a forma como o intercepto é estimado pela amostra.
Passo 2
Escrevendo o modelo e definindo notação (para ficar tudo claro):
onde:
-
é o intercepto (parâmetro verdadeiro); -
é o coeficiente angular (parâmetro verdadeiro); -
são os valores observados do regressor; -
são as observações da resposta; -
são os erros com e variância finita (pressupostos padrão).
O que significa "estimado pela média amostral
"? Interpreto que a afirmação diz que o estimador de
(denotado por
) seria igual à média amostral
, isto é:
Passo 3
Lembrando como os estimadores de mínimos quadrados ordinários (MQO) são calculados (é importante para entender a relação entre
,
e
).
As equações normais conduzem a:
onde
e
são as médias amostrais de
e
, respectivamente.
Explicação didática: a segunda fórmula sai da primeira equação normal (a soma dos resíduos é zero), que implica que o estimador do intercepto é sempre a média das
ajustada pela contribuição da inclinação multiplicada pela média de
. Portanto, em MQO:
- se
então, imediatamente, ; - mas se
então em geral.
Passo 4
Agora a diferença crucial: parâmetro verdadeiro
versus estimador
.
- A afirmação usa
(o verdadeiro coeficiente populacional) e conclui algo sobre o estimador . - Mesmo se o verdadeiro parâmetro for
, o estimador calculado a partir dos dados não será necessariamente igual a zero em uma amostra finita — ele é uma variável aleatória com esperança sob hipóteses padrão (ou seja, é um estimador não viciado). Então, quando tem-se , mas tipicamente será diferente de zero numa amostra concreta.
Consequência prática: se
(verdade verdadeira do mundo), não há garantia de que o ajuste por MQO produz
; por isso não há garantia de que
. Logo, a afirmação tal como está (ligando
diretamente a
) é incorreta.
Passo 5
Exemplo numérico simples que mostra a falsidade em amostra concreta (para fixar a intuição).
Considere
,
e suponha que as observações
sejam
. Então:
Calcule
:
Então
que claramente não é igual a
.
Neste exemplo pode-se imaginar que o verdadeiro modelo tenha
(por construção teórica), mas a amostra que vemos gerou
e
. Portanto a afirmação falha em amostras finitas.
Passo 6
Casos em que a afirmação seria verdadeira (para não deixar dúvida):
- Se o procedimento de estimação for feito impondo explicitamente
(ou seja, se o modelo estimado for apenas , sem incluir como regressor), então o estimador de é de fato . - Se, ao estimar o modelo completo por MQO, a amostra particular produzir
exatamente (situação rara, mas possível), daí segue . - Em termos assintóticos: se o verdadeiro
, então converge em probabilidade para quando , e assim converge em probabilidade para . Isso quer dizer que para amostras muito grandes ficará próximo de , mas não exatamente igual em amostras finitas.
Passo 7
Conclusão interpretativa (resumo amigável): a afirmação interpretada literalmente como "se
então o estimador
é igual a
" é falsa. O motivo é a diferença entre o parâmetro verdadeiro (
) e o estimador calculado na amostra (
). Só quando
(caso de modelo restringido ou amostra especial) ocorre
; quando apenas
no mundo real,
não precisa ser igual a
.
Força aí — é fácil confundir parâmetro com estimador; a diferença é a chave.
Resposta
Falsa